Номер 3.82, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.82. Покажите, что последовательность, заданная формулой общего члена, является геометрической прогрессией, и найдите $S_{10}$, если:

1) $b_n = 2 \cdot 3^{n+1}$;

2) $b_n = - \frac{3}{2^n}$.

1) Дана последовательность, заданная формулой общего члена $b_n = 2 \cdot 3^{n+1}$.
Чтобы доказать, что эта последовательность является геометрической прогрессией, необходимо показать, что отношение любого ее члена к предыдущему является постоянной величиной. Эта величина называется знаменателем геометрической прогрессии ($q$).
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$b_{n+1} = 2 \cdot 3^{(n+1)+1} = 2 \cdot 3^{n+2}$.
Теперь найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2 \cdot 3^{n+2}}{2 \cdot 3^{n+1}} = 3^{(n+2) - (n+1)} = 3^1 = 3$.
Поскольку отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ равно константе 3 (не зависит от $n$), последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 3$.
Теперь найдем сумму первых 10 членов прогрессии, $S_{10}$. Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Сначала вычислим первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 = 2 \cdot 3^{1+1} = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.
Подставим значения $b_1 = 18$, $q = 3$ и $n = 10$ в формулу суммы:
$S_{10} = \frac{18(3^{10} - 1)}{3 - 1} = \frac{18(3^{10} - 1)}{2} = 9(3^{10} - 1)$.
Вычислим $3^{10}$: $3^{10} = (3^5)^2 = 243^2 = 59049$.
$S_{10} = 9(59049 - 1) = 9 \cdot 59048 = 531432$.
Ответ: последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$; $S_{10} = 531432$.

2) Дана последовательность, заданная формулой общего члена $b_n = -\frac{3}{2^n}$.
Чтобы доказать, что эта последовательность является геометрической прогрессией, найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$b_{n+1} = -\frac{3}{2^{n+1}}$.
Теперь найдем их отношение:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{-\frac{3}{2^{n+1}}}{-\frac{3}{2^n}} = \left(-\frac{3}{2^{n+1}}\right) \cdot \left(-\frac{2^n}{3}\right) = \frac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n+1}} = \frac{2^n}{2^{n+1}} = 2^{n-(n+1)} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Поскольку отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ равно константе $\frac{1}{2}$ (не зависит от $n$), последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{2}$.
Теперь найдем сумму первых 10 членов прогрессии, $S_{10}$. Формула для суммы: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Сначала вычислим первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 = -\frac{3}{2^1} = -\frac{3}{2}$.
Подставим значения $b_1 = -\frac{3}{2}$, $q = \frac{1}{2}$ и $n = 10$ в формулу суммы:
$S_{10} = \frac{-\frac{3}{2}((\frac{1}{2})^{10} - 1)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{-\frac{3}{2}((\frac{1}{2})^{10} - 1)}{-\frac{1}{2}} = 3\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{10} - 1\right)$.
Вычислим $(\frac{1}{2})^{10}$: $(\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$.
$S_{10} = 3\left(\frac{1}{1024} - 1\right) = 3\left(\frac{1 - 1024}{1024}\right) = 3\left(\frac{-1023}{1024}\right) = -\frac{3069}{1024}$.
Ответ: последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=\frac{1}{2}$; $S_{10} = -\frac{3069}{1024}$.