Вопросы, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии и докажите ее.

2. Напишите формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии и докажите ее.

1. Напишите формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии и докажите ее.
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии, обозначаемая $S_n$, может быть вычислена по двум основным формулам.
Первая формула выражает сумму через первый и $n$-й члены прогрессии:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Вторая формула выражает сумму через первый член и разность прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$
Здесь $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — $n$-й член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов.

Доказательство:
Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$.
Запишем сумму ее первых $n$ членов в прямом порядке:
$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{n-1} + a_n$
Теперь запишем эту же сумму в обратном порядке:
$S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \dots + a_2 + a_1$
Сложим эти два равенства почленно:
$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + (a_3 + a_{n-2}) + \dots + (a_{n-1} + a_2) + (a_n + a_1)$
Для любой арифметической прогрессии сумма членов, равноудаленных от ее концов, есть величина постоянная и равная сумме первого и последнего членов. То есть, $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$. Например, для второй пары членов: $a_2 + a_{n-1} = (a_1 + d) + (a_n - d) = a_1 + a_n$.
Так как в сумме для $2S_n$ всего $n$ таких пар, каждая из которых равна $(a_1 + a_n)$, мы можем записать:
$2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n$
Разделив обе части равенства на 2, получим первую формулу суммы:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Что и требовалось доказать.

Для получения второй формулы используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + d(n-1)$ и подставим ее в доказанную выше формулу:
$S_n = \frac{a_1 + (a_1 + d(n-1))}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Ответ: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ или $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

2. Напишите формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии и докажите ее.
Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ обозначается $S_n$.
Формула зависит от значения знаменателя $q$.
Если $q = 1$, то все члены прогрессии равны $b_1$, и сумма вычисляется как:
$S_n = n \cdot b_1$
Если $q \neq 1$, формула для суммы имеет вид:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Доказательство:
Сначала рассмотрим случай $q \neq 1$.
Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $b_1, b_2, \dots, b_n$ равна:
$S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n$
Используя определение $b_k = b_1q^{k-1}$, запишем сумму в развернутом виде:
$S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$ (равенство 1)
Умножим обе части этого равенства на знаменатель $q$:
$S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$ (равенство 2)
Теперь вычтем из равенства (2) равенство (1):
$S_n \cdot q - S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n) - (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1})$
Большинство членов в правой части взаимно уничтожаются:
$S_n(q - 1) = b_1q^n - b_1$
Вынесем $b_1$ за скобки в правой части:
$S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$
Поскольку мы рассматриваем случай $q \neq 1$, то $q-1 \neq 0$, и мы можем разделить обе части на $(q-1)$:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
Что и требовалось доказать для случая $q \neq 1$.

Теперь рассмотрим случай $q = 1$.
Если $q = 1$, то каждый член прогрессии равен первому: $b_k = b_1 \cdot 1^{k-1} = b_1$.
Прогрессия имеет вид $b_1, b_1, b_1, \dots, b_1$.
Сумма $n$ одинаковых членов $b_1$ очевидно равна:
$S_n = \underbrace{b_1 + b_1 + \dots + b_1}_{n \text{ слагаемых}} = n \cdot b_1$

Ответ: При $q=1$ формула суммы: $S_n = n \cdot b_1$. При $q \neq 1$ формула суммы: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.