Номер 3.74, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.74. Выполняется ли равенство $\frac{x^2 + y^2}{x} = \frac{y^2 + z^2}{z}$, если x, y, z – последовательные члены геометрической прогрессии?

По условию, числа $x$, $y$, $z$ являются последовательными членами геометрической прогрессии. Это означает, что для них выполняется характеристическое свойство геометрической прогрессии: квадрат среднего члена равен произведению двух соседних. Математически это записывается как:

$y^2 = xz$

Для того чтобы исходное равенство имело смысл, знаменатели дробей не должны быть равны нулю, то есть $x \neq 0$ и $z \neq 0$. Если $x \neq 0$, то из свойства прогрессии следует, что и $y, z$ не могут быть равны нулю (за исключением тривиального случая, когда знаменатель прогрессии равен нулю, но тогда $z=0$, и правая часть не определена).

Проверим, выполняется ли равенство $\frac{x^2 + y^2}{x} = \frac{y^2 + z^2}{z}$.

Преобразуем это равенство, используя метод перекрестного умножения (основное свойство пропорции):

$z(x^2 + y^2) = x(y^2 + z^2)$

Раскроем скобки в обеих частях:

$x^2z + y^2z = xy^2 + xz^2$

Теперь воспользуемся свойством геометрической прогрессии $y^2 = xz$ и подставим $xz$ вместо $y^2$ в полученное уравнение:

$x^2z + (xz)z = x(xz) + xz^2$

Выполним умножение:

$x^2z + xz^2 = x^2z + xz^2$

В результате преобразований мы получили тождество, то есть верное равенство, которое не зависит от значений переменных (при условии их допустимости). Следовательно, исходное равенство выполняется для любых трех последовательных членов геометрической прогрессии $x, y, z$, где $x \neq 0$ и $z \neq 0$.

Ответ: да, равенство выполняется.