Страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.71. Разложите число 195 на три слагаемых так, чтобы слагаемые образовали геометрическую прогрессию, причем первое слагаемое должно быть меньше третьего на 120.

Обозначим три искомых слагаемых, которые образуют геометрическую прогрессию, как $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Пусть $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда слагаемые можно записать в виде: $b_1$, $b_2 = b_1q$, $b_3 = b_1q^2$.

Из условия задачи следуют два равенства:
1. Сумма слагаемых равна 195: $b_1 + b_2 + b_3 = 195$.
2. Первое слагаемое на 120 меньше третьего: $b_3 - b_1 = 120$ или $b_3 = b_1 + 120$.

Подставим выражения для членов прогрессии в эти равенства, чтобы получить систему уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:
$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 195$
$b_1q^2 - b_1 = 120$

Вынесем $b_1$ за скобки в каждом уравнении:
$b_1(1 + q + q^2) = 195 \quad (1)$
$b_1(q^2 - 1) = 120 \quad (2)$

Из второго уравнения выразим $b_1$ (отметим, что $q^2 \neq 1$, иначе второе уравнение превращается в $0=120$, что неверно):
$b_1 = \frac{120}{q^2 - 1}$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$\frac{120}{q^2 - 1}(1 + q + q^2) = 195$

Решим полученное уравнение относительно $q$. Для упрощения разделим обе части на 15 (наибольший общий делитель 120 и 195):
$8(1 + q + q^2) = 13(q^2 - 1)$
Раскроем скобки:
$8 + 8q + 8q^2 = 13q^2 - 13$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$13q^2 - 8q^2 - 8q - 13 - 8 = 0$
$5q^2 - 8q - 21 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-21) = 64 + 420 = 484$
$\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$
Корни уравнения:
$q_1 = \frac{8 + 22}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$
$q_2 = \frac{8 - 22}{2 \cdot 5} = \frac{-14}{10} = -\frac{7}{5}$

Получены два возможных значения знаменателя прогрессии. Найдем соответствующие им наборы слагаемых.

Случай 1: $q = 3$
Найдем первый член $b_1$:
$b_1 = \frac{120}{3^2 - 1} = \frac{120}{8} = 15$
Тогда слагаемые равны:
$b_1 = 15$
$b_2 = 15 \cdot 3 = 45$
$b_3 = 15 \cdot 3^2 = 135$
Проверка: сумма $15+45+135=195$, разность $135-15=120$. Все условия выполнены.

Случай 2: $q = -7/5$
Найдем первый член $b_1$:
$b_1 = \frac{120}{(-7/5)^2 - 1} = \frac{120}{49/25 - 1} = \frac{120}{24/25} = 120 \cdot \frac{25}{24} = 125$
Тогда слагаемые равны:
$b_1 = 125$
$b_2 = 125 \cdot (-\frac{7}{5}) = -175$
$b_3 = 125 \cdot (-\frac{7}{5})^2 = 245$
Проверка: сумма $125+(-175)+245=195$, разность $245-125=120$. Все условия выполнены.

Таким образом, задача имеет два решения.
Ответ: Искомые слагаемые: 15, 45, 135 или 125, -175, 245.

3.72. Докажите, что последовательность $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$, $\frac{1}{2-\sqrt{2}}$, $\frac{1}{2}$, ... является геометрической прогрессией.

Для того чтобы доказать, что последовательность является геометрической прогрессией, необходимо показать, что отношение каждого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену является постоянной величиной. Это постоянное отношение называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается $q$.

Заданная последовательность имеет члены:
$b_1 = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$
$b_2 = \frac{1}{2-\sqrt{2}}$
$b_3 = \frac{1}{2}$

Найдем отношение второго члена ко первому ($q_1 = b_2 / b_1$):
$q_1 = \frac{\frac{1}{2-\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}} = \frac{1}{2-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$
Чтобы упростить выражение, разложим знаменатель первой дроби на множители: $2-\sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)$.
$q_1 = \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)} = \frac{1}{2+\sqrt{2}}$
Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2-\sqrt{2})$:
$q_1 = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{2-\sqrt{2}}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2-\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем отношение третьего члена ко второму ($q_2 = b_3 / b_2$):
$q_2 = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2-\sqrt{2}}} = \frac{1}{2} \cdot (2-\sqrt{2}) = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку оба отношения равны ($q_1 = q_2 = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$), это доказывает, что данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Отношение второго члена к первому и третьего ко второму равны одному и тому же числу $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, по определению, данная последовательность является геометрической прогрессией. Что и требовалось доказать.

3.73. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если от третьего числа отнять 4, то полученная тройка образует арифметическую прогрессию. А если от второго и третьего членов арифметической прогрессии отнять 1 и 5 соответственно, то они снова образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные три числа.

Пусть искомые три числа, образующие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Обозначим их для удобства как $x, y, z$.По определению геометрической прогрессии, квадрат среднего члена равен произведению крайних членов:$y^2 = xz$

Согласно первому условию, если от третьего числа отнять 4, то полученная тройка $x, y, z-4$ образует арифметическую прогрессию. По определению арифметической прогрессии, средний член равен полусумме крайних членов:$y = \frac{x + (z-4)}{2}$$2y = x + z - 4$

Второе условие гласит: "если от второго и третьего членов арифметической прогрессии отнять 1 и 5 соответственно, то они снова образуют геометрическую прогрессию". Буквальное следование этому условию приводит к системе уравнений, не имеющей действительных решений. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и числа следует вычитать из членов исходной геометрической прогрессии. При такой интерпретации получаем, что числа $x$, $y-1$, $z-5$ образуют геометрическую прогрессию.Для этой новой прогрессии также выполняется свойство:$(y-1)^2 = x(z-5)$

Таким образом, мы имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными:1. $y^2 = xz$2. $2y = x + z - 4$3. $(y-1)^2 = x(z-5)$

Раскроем скобки в третьем уравнении:$y^2 - 2y + 1 = xz - 5x$Подставим в него первое уравнение ($y^2 = xz$):$xz - 2y + 1 = xz - 5x$$-2y + 1 = -5x$$5x = 2y - 1$$x = \frac{2y-1}{5}$

Теперь выразим $z$ из второго уравнения:$z = 2y - 4 - x$Подставим в него найденное выражение для $x$:$z = 2y - 4 - \frac{2y-1}{5} = \frac{5(2y-4) - (2y-1)}{5} = \frac{10y-20-2y+1}{5} = \frac{8y-19}{5}$Извините, ошибка в вычислении. Правильно:$z = 2y + 4 - x = 2y + 4 - \frac{2y-1}{5} = \frac{5(2y+4) - (2y-1)}{5} = \frac{10y+20-2y+1}{5} = \frac{8y+21}{5}$

Теперь подставим выражения для $x$ и $z$ в первое уравнение $y^2 = xz$:$y^2 = \left(\frac{2y-1}{5}\right) \left(\frac{8y+21}{5}\right)$$25y^2 = (2y-1)(8y+21)$$25y^2 = 16y^2 + 42y - 8y - 21$$25y^2 = 16y^2 + 34y - 21$$9y^2 - 34y + 21 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:$D = (-34)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 21 = 1156 - 756 = 400 = 20^2$Корни уравнения:$y_1 = \frac{34 - 20}{2 \cdot 9} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}$$y_2 = \frac{34 + 20}{2 \cdot 9} = \frac{54}{18} = 3$

Рассмотрим оба возможных случая.
Случай 1: $y = 3$.Найдем $x$ и $z$:$x = \frac{2(3)-1}{5} = \frac{6-1}{5} = 1$$z = \frac{8(3)+21}{5} = \frac{24+21}{5} = 9$Первый набор чисел: 1, 3, 9.

Случай 2: $y = \frac{7}{9}$.Найдем $x$ и $z$:$x = \frac{2(\frac{7}{9})-1}{5} = \frac{\frac{14}{9}-1}{5} = \frac{\frac{5}{9}}{5} = \frac{1}{9}$$z = \frac{8(\frac{7}{9})+21}{5} = \frac{\frac{56}{9}+21}{5} = \frac{\frac{56+189}{9}}{5} = \frac{\frac{245}{9}}{5} = \frac{49}{9}$Второй набор чисел: $\frac{1}{9}, \frac{7}{9}, \frac{49}{9}$.

Проверим оба решения.Для (1, 3, 9):1. Геометрическая прогрессия: 1, 3, 9 (знаменатель 3).2. Арифметическая прогрессия: 1, 3, 9-4=5 (разность 2).3. Новая геометрическая прогрессия: 1, 3-1=2, 9-5=4 (знаменатель 2).Решение верное.
Для ($\frac{1}{9}, \frac{7}{9}, \frac{49}{9}$):1. Геометрическая прогрессия: $\frac{1}{9}, \frac{7}{9}, \frac{49}{9}$ (знаменатель 7).2. Арифметическая прогрессия: $\frac{1}{9}, \frac{7}{9}, \frac{49}{9}-4 = \frac{13}{9}$ (разность $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$).3. Новая геометрическая прогрессия: $\frac{1}{9}, \frac{7}{9}-1=-\frac{2}{9}, \frac{49}{9}-5=\frac{4}{9}$ (знаменатель -2).Решение верное.

Ответ: (1, 3, 9) или ($\frac{1}{9}, \frac{7}{9}, \frac{49}{9}$).

3.74. Выполняется ли равенство $\frac{x^2 + y^2}{x} = \frac{y^2 + z^2}{z}$, если x, y, z – последовательные члены геометрической прогрессии?

По условию, числа $x$, $y$, $z$ являются последовательными членами геометрической прогрессии. Это означает, что для них выполняется характеристическое свойство геометрической прогрессии: квадрат среднего члена равен произведению двух соседних. Математически это записывается как:

$y^2 = xz$

Для того чтобы исходное равенство имело смысл, знаменатели дробей не должны быть равны нулю, то есть $x \neq 0$ и $z \neq 0$. Если $x \neq 0$, то из свойства прогрессии следует, что и $y, z$ не могут быть равны нулю (за исключением тривиального случая, когда знаменатель прогрессии равен нулю, но тогда $z=0$, и правая часть не определена).

Проверим, выполняется ли равенство $\frac{x^2 + y^2}{x} = \frac{y^2 + z^2}{z}$.

Преобразуем это равенство, используя метод перекрестного умножения (основное свойство пропорции):

$z(x^2 + y^2) = x(y^2 + z^2)$

Раскроем скобки в обеих частях:

$x^2z + y^2z = xy^2 + xz^2$

Теперь воспользуемся свойством геометрической прогрессии $y^2 = xz$ и подставим $xz$ вместо $y^2$ в полученное уравнение:

$x^2z + (xz)z = x(xz) + xz^2$

Выполним умножение:

$x^2z + xz^2 = x^2z + xz^2$

В результате преобразований мы получили тождество, то есть верное равенство, которое не зависит от значений переменных (при условии их допустимости). Следовательно, исходное равенство выполняется для любых трех последовательных членов геометрической прогрессии $x, y, z$, где $x \neq 0$ и $z \neq 0$.

Ответ: да, равенство выполняется.

3.75. Сократите дроби:

1) $ \frac{7^n - 3 \cdot 7^{n-1}}{4} $

2) $ \frac{5^{2n+1} - 5^{2n-1}}{12 \cdot 5^{n-1}} $

1) Чтобы сократить дробь $\frac{7^n - 3 \cdot 7^{n-1}}{4}$, вынесем общий множитель в числителе. Общим множителем является степень с наименьшим показателем, то есть $7^{n-1}$.
Представим $7^n$ в виде $7^{n-1+1} = 7^1 \cdot 7^{n-1} = 7 \cdot 7^{n-1}$.
Теперь выражение в числителе можно переписать и вынести общий множитель за скобки:
$7^n - 3 \cdot 7^{n-1} = 7 \cdot 7^{n-1} - 3 \cdot 7^{n-1} = (7-3) \cdot 7^{n-1} = 4 \cdot 7^{n-1}$.
Подставим полученное выражение обратно в дробь:
$\frac{4 \cdot 7^{n-1}}{4}$.
Сократим дробь на 4:
$\frac{\cancel{4} \cdot 7^{n-1}}{\cancel{4}} = 7^{n-1}$.
Ответ: $7^{n-1}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{5^{2n+1} - 5^{2n-1}}{12 \cdot 5^{n-1}}$, сначала упростим числитель. Вынесем за скобки общий множитель $5^{2n-1}$.
Представим $5^{2n+1}$ в виде $5^{2n-1+2} = 5^2 \cdot 5^{2n-1}$.
Тогда числитель примет вид:
$5^{2n+1} - 5^{2n-1} = 5^2 \cdot 5^{2n-1} - 1 \cdot 5^{2n-1} = (5^2 - 1) \cdot 5^{2n-1} = (25-1) \cdot 5^{2n-1} = 24 \cdot 5^{2n-1}$.
Теперь подставим упрощенный числитель в исходную дробь:
$\frac{24 \cdot 5^{2n-1}}{12 \cdot 5^{n-1}}$.
Сократим числовые коэффициенты $\frac{24}{12} = 2$.
Затем сократим степени с основанием 5, используя правило деления степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$\frac{5^{2n-1}}{5^{n-1}} = 5^{(2n-1) - (n-1)} = 5^{2n-1-n+1} = 5^n$.
Объединим полученные результаты:
$2 \cdot 5^n$.
Ответ: $2 \cdot 5^n$.

3.76. Упростите выражения:

1)

$\frac{a^2 + 3a + 2}{a^2 + 6a + 5}$;

2)

$\frac{b^2 + 2b + 1}{b^2 + 8b + 7}$.

1) Чтобы упростить данное выражение, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби. И числитель, и знаменатель являются квадратными трехчленами вида $ax^2+bx+c$, которые можно разложить на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения.

Разложим на множители числитель $a^2 + 3a + 2$. Для этого решим квадратное уравнение $a^2 + 3a + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $2$. Корнями являются числа $-1$ и $-2$.
Следовательно, $a^2 + 3a + 2 = (a - (-1))(a - (-2)) = (a + 1)(a + 2)$.

Разложим на множители знаменатель $a^2 + 6a + 5$. Решим уравнение $a^2 + 6a + 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $5$. Корнями являются числа $-1$ и $-5$.
Следовательно, $a^2 + 6a + 5 = (a - (-1))(a - (-5)) = (a + 1)(a + 5)$.

Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь и сократим общий множитель $(a+1)$:

$$ \frac{a^2 + 3a + 2}{a^2 + 6a + 5} = \frac{(a + 1)(a + 2)}{(a + 1)(a + 5)} = \frac{a + 2}{a + 5} $$

Ответ: $ \frac{a + 2}{a + 5} $

2) Для упрощения второго выражения также разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $b^2 + 2b + 1$ представляет собой полный квадрат суммы, который можно свернуть по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
Таким образом, $b^2 + 2b + 1 = (b+1)^2$.

Знаменатель $b^2 + 8b + 7$ является квадратным трехчленом. Разложим его на множители, найдя корни уравнения $b^2 + 8b + 7 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а их произведение равно $7$. Корнями являются числа $-1$ и $-7$.
Следовательно, $b^2 + 8b + 7 = (b - (-1))(b - (-7)) = (b + 1)(b + 7)$.

Подставим разложения в исходную дробь и сократим общий множитель $(b+1)$:

$$ \frac{b^2 + 2b + 1}{b^2 + 8b + 7} = \frac{(b+1)^2}{(b+1)(b+7)} = \frac{(b+1)(b+1)}{(b+1)(b+7)} = \frac{b+1}{b+7} $$

Ответ: $ \frac{b+1}{b+7} $