Номер 3.71, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.71. Разложите число 195 на три слагаемых так, чтобы слагаемые образовали геометрическую прогрессию, причем первое слагаемое должно быть меньше третьего на 120.

Обозначим три искомых слагаемых, которые образуют геометрическую прогрессию, как $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Пусть $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда слагаемые можно записать в виде: $b_1$, $b_2 = b_1q$, $b_3 = b_1q^2$.

Из условия задачи следуют два равенства:
1. Сумма слагаемых равна 195: $b_1 + b_2 + b_3 = 195$.
2. Первое слагаемое на 120 меньше третьего: $b_3 - b_1 = 120$ или $b_3 = b_1 + 120$.

Подставим выражения для членов прогрессии в эти равенства, чтобы получить систему уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:
$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 195$
$b_1q^2 - b_1 = 120$

Вынесем $b_1$ за скобки в каждом уравнении:
$b_1(1 + q + q^2) = 195 \quad (1)$
$b_1(q^2 - 1) = 120 \quad (2)$

Из второго уравнения выразим $b_1$ (отметим, что $q^2 \neq 1$, иначе второе уравнение превращается в $0=120$, что неверно):
$b_1 = \frac{120}{q^2 - 1}$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$\frac{120}{q^2 - 1}(1 + q + q^2) = 195$

Решим полученное уравнение относительно $q$. Для упрощения разделим обе части на 15 (наибольший общий делитель 120 и 195):
$8(1 + q + q^2) = 13(q^2 - 1)$
Раскроем скобки:
$8 + 8q + 8q^2 = 13q^2 - 13$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$13q^2 - 8q^2 - 8q - 13 - 8 = 0$
$5q^2 - 8q - 21 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-21) = 64 + 420 = 484$
$\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$
Корни уравнения:
$q_1 = \frac{8 + 22}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$
$q_2 = \frac{8 - 22}{2 \cdot 5} = \frac{-14}{10} = -\frac{7}{5}$

Получены два возможных значения знаменателя прогрессии. Найдем соответствующие им наборы слагаемых.

Случай 1: $q = 3$
Найдем первый член $b_1$:
$b_1 = \frac{120}{3^2 - 1} = \frac{120}{8} = 15$
Тогда слагаемые равны:
$b_1 = 15$
$b_2 = 15 \cdot 3 = 45$
$b_3 = 15 \cdot 3^2 = 135$
Проверка: сумма $15+45+135=195$, разность $135-15=120$. Все условия выполнены.

Случай 2: $q = -7/5$
Найдем первый член $b_1$:
$b_1 = \frac{120}{(-7/5)^2 - 1} = \frac{120}{49/25 - 1} = \frac{120}{24/25} = 120 \cdot \frac{25}{24} = 125$
Тогда слагаемые равны:
$b_1 = 125$
$b_2 = 125 \cdot (-\frac{7}{5}) = -175$
$b_3 = 125 \cdot (-\frac{7}{5})^2 = 245$
Проверка: сумма $125+(-175)+245=195$, разность $245-125=120$. Все условия выполнены.

Таким образом, задача имеет два решения.
Ответ: Искомые слагаемые: 15, 45, 135 или 125, -175, 245.