Номер 3.66, страница 83 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.66. Между числами 1 и 256 расположите три числа так, чтобы полученные 5 чисел были последовательными членами геометрической прогрессии.

Пусть искомые три числа вместе с числами 1 и 256 образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$, состоящую из 5 членов. В этой прогрессии первый член $b_1 = 1$, а пятый член $b_5 = 256$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ - знаменатель прогрессии.

Для пятого члена прогрессии мы можем записать:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Подставим известные значения $b_1 = 1$ и $b_5 = 256$ в формулу:

$256 = 1 \cdot q^4$

$q^4 = 256$

Чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, необходимо извлечь корень четвертой степени из 256. Поскольку степень корня четная, существует два действительных решения:

$q_1 = \sqrt[4]{256} = 4$

$q_2 = -\sqrt[4]{256} = -4$

Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Знаменатель прогрессии $q = 4$.

Найдем три промежуточных члена прогрессии, которые нужно вставить между 1 и 256:

$b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot 4 = 4$

$b_3 = b_2 \cdot q = 4 \cdot 4 = 16$

$b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot 4 = 64$

В этом случае искомые числа: 4, 16, 64. Полученная последовательность: 1, 4, 16, 64, 256. Проверка: $b_5 = b_4 \cdot q = 64 \cdot 4 = 256$, что соответствует условию.

Случай 2: Знаменатель прогрессии $q = -4$.

Найдем три промежуточных члена прогрессии:

$b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot (-4) = -4$

$b_3 = b_2 \cdot q = (-4) \cdot (-4) = 16$

$b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot (-4) = -64$

В этом случае искомые числа: -4, 16, -64. Полученная последовательность: 1, -4, 16, -64, 256. Проверка: $b_5 = b_4 \cdot q = (-64) \cdot (-4) = 256$, что также соответствует условию.

Таким образом, существует два набора чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: 4, 16, 64 или -4, 16, -64.