Номер 3.59, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.59. Найдите $6$-\text{й} и $n$-\text{й} члены геометрической прогрессии:

1) $48$, $12$, ...;

2) $\frac{64}{9}$, $\frac{32}{3}$, ...;

3) $-0,001$, $-0,01$, ...;

4) $-100$, $10$, ....

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

1) Для прогрессии $48, 12, ...$

Первый член $b_1 = 48$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}$

Теперь найдем 6-й член прогрессии:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = 48 \cdot (\frac{1}{4})^5 = 48 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{48}{1024} = \frac{3 \cdot 16}{64 \cdot 16} = \frac{3}{64}$

Формула для n-го члена этой прогрессии:

$b_n = 48 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1}$

Ответ: $b_6 = \frac{3}{64}$, $b_n = 48 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1}$.

2) Для прогрессии $\frac{64}{9}, \frac{32}{3}, ...$

Первый член $b_1 = \frac{64}{9}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{32/3}{64/9} = \frac{32}{3} \cdot \frac{9}{64} = \frac{3}{2}$

Теперь найдем 6-й член прогрессии:

$b_6 = b_1 \cdot q^{5} = \frac{64}{9} \cdot (\frac{3}{2})^5 = \frac{2^6}{3^2} \cdot \frac{3^5}{2^5} = 2^{6-5} \cdot 3^{5-2} = 2^1 \cdot 3^3 = 54$

Формула для n-го члена этой прогрессии:

$b_n = \frac{64}{9} \cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$

Ответ: $b_6 = 54$, $b_n = \frac{64}{9} \cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$.

3) Для прогрессии $-0,001, -0,01, ...$

Первый член $b_1 = -0,001$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-0,01}{-0,001} = 10$

Теперь найдем 6-й член прогрессии:

$b_6 = b_1 \cdot q^{5} = -0,001 \cdot 10^5 = -0,001 \cdot 100000 = -100$

Формула для n-го члена этой прогрессии:

$b_n = -0,001 \cdot 10^{n-1}$

Эту формулу можно упростить, представив $b_1$ как $-10^{-3}$:

$b_n = -10^{-3} \cdot 10^{n-1} = -10^{n-1-3} = -10^{n-4}$

Ответ: $b_6 = -100$, $b_n = -0,001 \cdot 10^{n-1}$ (или $b_n = -10^{n-4}$).

4) Для прогрессии $-100, 10, ...$

Первый член $b_1 = -100$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{10}{-100} = -0,1$

Теперь найдем 6-й член прогрессии:

$b_6 = b_1 \cdot q^{5} = -100 \cdot (-0,1)^5 = -100 \cdot (-0,00001) = 0,001$

Формула для n-го члена этой прогрессии:

$b_n = -100 \cdot (-0,1)^{n-1}$

Эту формулу можно упростить:

$b_n = -10^2 \cdot (-\frac{1}{10})^{n-1} = -10^2 \cdot (-1)^{n-1} \cdot (10^{-1})^{n-1} = (-1)^1 \cdot 10^2 \cdot (-1)^{n-1} \cdot 10^{-n+1} = (-1)^{1+n-1} \cdot 10^{2-n+1} = (-1)^n \cdot 10^{3-n}$

Ответ: $b_6 = 0,001$, $b_n = -100 \cdot (-0,1)^{n-1}$ (или $b_n = (-1)^n \cdot 10^{3-n}$).