Номер 3.63, страница 83 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.63. Найдите $c_2$ и $c_3$, если числа $2, c_2, c_3, 0.25 c_2$ являются первыми четырьмя членами геометрической прогрессии.

Пусть данные числа являются первыми четырьмя членами геометрической прогрессии $(b_n)$. Обозначим их в соответствии с условием задачи:

$b_1 = 2$

$b_2 = c_2$

$b_3 = c_3$

$b_4 = 0,25 c_2$

Для любой геометрической прогрессии справедливо свойство, что квадрат любого ее члена (начиная со второго) равен произведению соседних с ним членов: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.

Применим это свойство для членов $b_2$ и $b_3$, чтобы составить систему уравнений.

Для члена $b_2$: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Подставив заданные значения, получим первое уравнение:

$c_2^2 = 2 \cdot c_3$ (1)

Для члена $b_3$: $b_3^2 = b_2 \cdot b_4$. Подставив заданные значения, получим второе уравнение:

$c_3^2 = c_2 \cdot (0,25 c_2)$

$c_3^2 = 0,25 c_2^2$ (2)

Решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases} c_2^2 = 2c_3 \\ c_3^2 = 0,25c_2^2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $c_3$ через $c_2$. Для этого извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{c_3^2} = \sqrt{0,25c_2^2}$

$|c_3| = 0,5|c_2|$

Это соотношение эквивалентно двум возможным случаям: $c_3 = 0,5c_2$ или $c_3 = -0,5c_2$. Рассмотрим каждый из них.

Случай 1: $c_3 = 0,5c_2$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы ($c_2^2 = 2c_3$):

$c_2^2 = 2 \cdot (0,5c_2)$

$c_2^2 = c_2$

$c_2^2 - c_2 = 0$

$c_2(c_2 - 1) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для $c_2$ и соответствующие им значения $c_3$:

Если $c_2 = 0$, то $c_3 = 0,5 \cdot 0 = 0$.

Если $c_2 = 1$, то $c_3 = 0,5 \cdot 1 = 0,5$.

Случай 2: $c_3 = -0,5c_2$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы ($c_2^2 = 2c_3$):

$c_2^2 = 2 \cdot (-0,5c_2)$

$c_2^2 = -c_2$

$c_2^2 + c_2 = 0$

$c_2(c_2 + 1) = 0$

Отсюда находим еще два возможных значения для $c_2$ и соответствующие им значения $c_3$:

Если $c_2 = 0$, то $c_3 = -0,5 \cdot 0 = 0$. Это решение уже было найдено в первом случае.

Если $c_2 = -1$, то $c_3 = -0,5 \cdot (-1) = 0,5$.

Таким образом, мы получили три уникальные пары решений для $(c_2, c_3)$:

1. $(0; 0)$. Последовательность: $2, 0, 0, 0$. Знаменатель прогрессии $q=0$.

2. $(1; 0,5)$. Последовательность: $2; 1; 0,5; 0,25$. Знаменатель прогрессии $q=0,5$.

3. $(-1; 0,5)$. Последовательность: $2; -1; 0,5; -0,25$. Знаменатель прогрессии $q=-0,5$.

Ответ: $c_2=0, c_3=0$; или $c_2=1, c_3=0,5$; или $c_2=-1, c_3=0,5$.