Номер 3.65, страница 83 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.65. Могут ли числа 10, 13, 14 быть членами одной геометрической прогрессии (не обязательно соседними)?

Предположим, что числа 10, 13 и 14 являются членами некоторой геометрической прогрессии $(b_n)$ со знаменателем $q$. Пусть эти числа являются членами прогрессии с номерами $k$, $m$ и $n$ соответственно. То есть:

$b_k = 10$

$b_m = 13$

$b_n = 14$

Поскольку числа 10, 13, 14 различны, то и их номера $k, m, n$ должны быть различными натуральными числами.

Для любой геометрической прогрессии отношение двух ее членов является степенью знаменателя прогрессии. Возьмем отношения наших членов:

$\frac{b_m}{b_k} = \frac{13}{10} = q^{m-k}$

$\frac{b_n}{b_m} = \frac{14}{13} = q^{n-m}$

Так как $k, m, n$ — различные целые числа, то и разности $p = m-k$ и $s = n-m$ являются ненулевыми целыми числами.

Из полученных уравнений можно выразить знаменатель $q$:

$q = \left(\frac{13}{10}\right)^{\frac{1}{p}}$ и $q = \left(\frac{14}{13}\right)^{\frac{1}{s}}$

Приравняем эти два выражения:

$\left(\frac{13}{10}\right)^{\frac{1}{p}} = \left(\frac{14}{13}\right)^{\frac{1}{s}}$

Чтобы избавиться от дробных показателей, возведем обе части равенства в степень $ps$:

$\left(\frac{13}{10}\right)^s = \left(\frac{14}{13}\right)^p$

Преобразуем это уравнение, перенеся все множители в одну сторону:

$\frac{13^s}{10^s} = \frac{14^p}{13^p}$

$13^s \cdot 13^p = 10^s \cdot 14^p$

$13^{s+p} = 10^s \cdot 14^p$

Теперь разложим основания степеней 10 и 14 на простые множители:

$13^{s+p} = (2 \cdot 5)^s \cdot (2 \cdot 7)^p$

$13^{s+p} = 2^s \cdot 5^s \cdot 2^p \cdot 7^p$

$13^{s+p} = 2^{s+p} \cdot 5^s \cdot 7^p$

Мы получили равенство двух чисел, представленных в виде разложения на простые множители. Согласно основной теореме арифметики, разложение любого натурального числа на простые множители единственно. Это означает, что для выполнения равенства, степени у одинаковых простых оснований в левой и правой частях должны быть равны.

Сравним показатели степеней для каждого простого множителя:

• Для основания 2: в левой части показатель 0, в правой $s+p$. Значит, $s+p = 0$.
• Для основания 5: в левой части показатель 0, в правой $s$. Значит, $s=0$.
• Для основания 7: в левой части показатель 0, в правой $p$. Значит, $p=0$.
• Для основания 13: в левой части показатель $s+p$, в правой 0. Значит, $s+p=0$.

Система уравнений дает единственное решение: $p=0$ и $s=0$.

Однако, мы определили $p = m-k$ и $s = n-m$. Если $p=0$, то $m=k$. Если $s=0$, то $n=m$. Отсюда следует, что $k=m=n$. Это означает, что все три числа 10, 13 и 14 должны быть одним и тем же членом прогрессии, но они являются разными числами.

Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение было неверным.

Ответ: Нет, числа 10, 13 и 14 не могут быть членами одной геометрической прогрессии.