Номер 3.68, страница 83 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.68. Напишите первые несколько членов геометрической прогрессии, у которой разность третьего и первого членов равна 9, а разность пятого и третьего членов равна 36.

Обозначим первый член искомой геометрической прогрессии как $b_1$, а её знаменатель — как $q$. Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Исходя из условий задачи, мы можем составить два уравнения:

1. Разность третьего и первого членов равна 9: $b_3 - b_1 = 9$.

2. Разность пятого и третьего членов равна 36: $b_5 - b_3 = 36$.

Теперь выразим $b_3$ и $b_5$ через $b_1$ и $q$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 q^2$

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 q^4$

Подставим эти выражения в наши уравнения и получим систему:

$ \begin{cases} b_1 q^2 - b_1 = 9 \\ b_1 q^4 - b_1 q^2 = 36 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении для упрощения:

$ \begin{cases} b_1 (q^2 - 1) = 9 \quad (1) \\ b_1 q^2 (q^2 - 1) = 36 \quad (2) \end{cases} $

Мы видим, что левая часть уравнения (1), то есть выражение $b_1 (q^2 - 1)$, является частью левой части уравнения (2). Мы можем подставить значение 9 из уравнения (1) в уравнение (2):

$q^2 \cdot (b_1 (q^2 - 1)) = 36$

$q^2 \cdot 9 = 36$

Теперь решим это уравнение относительно $q^2$:

$q^2 = \frac{36}{9} = 4$

Отсюда следует, что знаменатель прогрессии $q$ может принимать два значения:

$q = \sqrt{4} = 2$ или $q = -\sqrt{4} = -2$.

Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: $q = 2$

Подставим значение $q^2 = 4$ в первое уравнение системы, $b_1(q^2 - 1) = 9$:

$b_1(4 - 1) = 9$

$3b_1 = 9$

$b_1 = \frac{9}{3} = 3$

Итак, мы нашли первый член $b_1 = 3$ и знаменатель $q = 2$. Первые несколько членов этой прогрессии:

$b_1 = 3$

$b_2 = 3 \cdot 2 = 6$

$b_3 = 6 \cdot 2 = 12$

$b_4 = 12 \cdot 2 = 24$

...и так далее. Последовательность: 3, 6, 12, 24, ...

Случай 2: $q = -2$

Подставим значение $q^2 = 4$ в то же первое уравнение, $b_1(q^2 - 1) = 9$:

$b_1(4 - 1) = 9$

$3b_1 = 9$

$b_1 = \frac{9}{3} = 3$

В этом случае первый член $b_1 = 3$, а знаменатель $q = -2$. Первые несколько членов этой прогрессии:

$b_1 = 3$

$b_2 = 3 \cdot (-2) = -6$

$b_3 = -6 \cdot (-2) = 12$

$b_4 = 12 \cdot (-2) = -24$

...и так далее. Последовательность: 3, -6, 12, -24, ...

Таким образом, существуют две геометрические прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: 3, 6, 12, 24, ... или 3, -6, 12, -24, ...