Номер 3.62, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.62. В геометрической прогрессии ${$b_n$}$ найдите:

1) $b_1$, если $b_6=3$, $q=3$;

2) $b_1$, если $b_5=17.5$, $q=-2.5$;

3) $q$, если $b_5=-6$, $b_7=-54$;

4) $q$, если $b_6=25$, $b_8=9$;

5) $b_6$, если $b_1=125$, $b_3=5$;

6) $b_1$, если $b_4=-1$, $b_6=-100$.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Также полезна формула, связывающая любые два члена прогрессии: $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$.

1) Дано: $b_6 = 3$, $q=3$. Найти $b_1$.

Воспользуемся формулой n-го члена: $b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$.

Подставим известные значения:

$3 = b_1 \cdot 3^5$

$3 = b_1 \cdot 243$

Отсюда находим $b_1$:

$b_1 = \frac{3}{243} = \frac{1}{81}$

Ответ: $b_1 = \frac{1}{81}$.

2) Дано: $b_5 = 17,5$, $q=-2,5$. Найти $b_1$.

Воспользуемся формулой n-го члена: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

Подставим известные значения. Удобнее представить десятичные дроби в виде обыкновенных: $17,5 = \frac{35}{2}$ и $-2,5 = -\frac{5}{2}$.

$\frac{35}{2} = b_1 \cdot (-\frac{5}{2})^4$

$\frac{35}{2} = b_1 \cdot \frac{625}{16}$

Отсюда находим $b_1$:

$b_1 = \frac{35}{2} \cdot \frac{16}{625} = \frac{35 \cdot 8}{625} = \frac{7 \cdot 5 \cdot 8}{125 \cdot 5} = \frac{56}{125}$

Ответ: $b_1 = \frac{56}{125}$.

3) Дано: $b_5 = -6$, $b_7 = -54$. Найти $q$.

Воспользуемся формулой, связывающей два члена прогрессии: $b_7 = b_5 \cdot q^{7-5} = b_5 \cdot q^2$.

Подставим известные значения:

$-54 = -6 \cdot q^2$

Отсюда находим $q^2$:

$q^2 = \frac{-54}{-6} = 9$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $q$:

$q = \sqrt{9} = 3$ или $q = -\sqrt{9} = -3$.

Ответ: $q = 3$ или $q = -3$.

4) Дано: $b_6 = 25$, $b_8 = 9$. Найти $q$.

Воспользуемся формулой: $b_8 = b_6 \cdot q^{8-6} = b_6 \cdot q^2$.

Подставим известные значения:

$9 = 25 \cdot q^2$

Отсюда находим $q^2$:

$q^2 = \frac{9}{25}$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $q$:

$q = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ или $q = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.

Ответ: $q = \frac{3}{5}$ или $q = -\frac{3}{5}$.

5) Дано: $b_1 = 125$, $b_3 = 5$. Найти $b_6$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу $b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$.

$5 = 125 \cdot q^2$

$q^2 = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$

Возможные значения для $q$: $q = \frac{1}{5}$ или $q = -\frac{1}{5}$.

Теперь найдем $b_6$ по формуле $b_6 = b_1 \cdot q^5$.

Случай 1: $q = \frac{1}{5}$

$b_6 = 125 \cdot (\frac{1}{5})^5 = 125 \cdot \frac{1}{3125} = \frac{125}{3125} = \frac{1}{25}$

Случай 2: $q = -\frac{1}{5}$

$b_6 = 125 \cdot (-\frac{1}{5})^5 = 125 \cdot (-\frac{1}{3125}) = -\frac{125}{3125} = -\frac{1}{25}$

Ответ: $b_6 = \frac{1}{25}$ или $b_6 = -\frac{1}{25}$.

6) Дано: $b_4 = -1$, $b_6 = -100$. Найти $b_1$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу $b_6 = b_4 \cdot q^{6-4} = b_4 \cdot q^2$.

$-100 = -1 \cdot q^2$

$q^2 = 100$

Возможные значения для $q$: $q = 10$ или $q = -10$.

Теперь найдем $b_1$. Из формулы $b_4 = b_1 \cdot q^3$ следует, что $b_1 = \frac{b_4}{q^3}$.

Случай 1: $q = 10$

$b_1 = \frac{-1}{10^3} = \frac{-1}{1000} = -0,001$

Случай 2: $q = -10$

$b_1 = \frac{-1}{(-10)^3} = \frac{-1}{-1000} = \frac{1}{1000} = 0,001$

Ответ: $b_1 = -0,001$ или $b_1 = 0,001$.