Номер 3.57, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.57. В геометрической прогрессии ${x_n}$ найдите:

1) ${x_7}$, если ${x_1=16}$, ${q=0,5}$;

2) ${x_8}$, если ${x_1=-810}$, ${q=\frac{1}{3}}$;

3) ${x_{10}}$, если ${x_1=\sqrt{2}}$, ${q=-\sqrt{2}}$;

4) ${x_6}$, если ${x_1=125}$, ${q=0,2}$.

Общая формула для нахождения $n$-го члена геометрической прогрессии $\{x_n\}$ имеет вид:

$x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$

где $x_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер члена.

1) Найдём $x_7$, если $x_1=16$, $q=0,5$.

Подставим данные значения в формулу для $n=7$:

$x_7 = x_1 \cdot q^{7-1} = 16 \cdot (0,5)^6$.

Представим $0,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$ и $16$ в виде степени двойки $2^4$ для удобства вычислений:

$x_7 = 16 \cdot (\frac{1}{2})^6 = 2^4 \cdot \frac{1}{2^6} = \frac{2^4}{2^6} = \frac{1}{2^{6-4}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) Найдём $x_8$, если $x_1=-810$, $q=\frac{1}{3}$.

Подставим данные значения в формулу для $n=8$:

$x_8 = x_1 \cdot q^{8-1} = -810 \cdot (\frac{1}{3})^7$.

Разложим $810$ на множители: $810 = 81 \cdot 10 = 3^4 \cdot 10$.

$x_8 = -(3^4 \cdot 10) \cdot \frac{1}{3^7} = -\frac{10 \cdot 3^4}{3^7} = -\frac{10}{3^{7-4}} = -\frac{10}{3^3} = -\frac{10}{27}$.

Ответ: $-\frac{10}{27}$.

3) Найдём $x_{10}$, если $x_1=\sqrt{2}$, $q=-\sqrt{2}$.

Подставим данные значения в формулу для $n=10$:

$x_{10} = x_1 \cdot q^{10-1} = \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})^9$.

Поскольку знаменатель $q$ возводится в нечетную степень ($9$), знак минус сохраняется:

$x_{10} = \sqrt{2} \cdot (-(\sqrt{2})^9) = -(\sqrt{2})^1 \cdot (\sqrt{2})^9 = -(\sqrt{2})^{1+9} = -(\sqrt{2})^{10}$.

Теперь вычислим значение выражения: $(\sqrt{2})^{10} = (2^{1/2})^{10} = 2^{10/2} = 2^5 = 32$.

Следовательно, $x_{10} = -32$.

Ответ: $-32$.

4) Найдём $x_6$, если $x_1=125$, $q=0,2$.

Подставим данные значения в формулу для $n=6$:

$x_6 = x_1 \cdot q^{6-1} = 125 \cdot (0,2)^5$.

Представим $0,2$ в виде дроби $\frac{1}{5}$ и $125$ как $5^3$:

$x_6 = 5^3 \cdot (\frac{1}{5})^5 = \frac{5^3}{5^5} = \frac{1}{5^{5-3}} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

В виде десятичной дроби это $0,04$.

Ответ: $\frac{1}{25}$.