Номер 3.53, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.53. Может ли арифметическая прогрессия, все члены которой являются точными квадратами натуральных чисел, иметь 2004 члена?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть два возможных случая для разности арифметической прогрессии $d$.

Случай 1: Разность прогрессии $d=0$

Если разность прогрессии равна нулю, то все члены прогрессии одинаковы. Если выбрать в качестве первого члена любой точный квадрат натурального числа, например $a_1 = k^2$ для некоторого натурального $k$, то все 2004 члена прогрессии будут равны $k^2$. Такая последовательность (например, $9, 9, 9, \ldots, 9$) является арифметической прогрессией, все члены которой — точные квадраты натуральных чисел. В этом случае ответ на вопрос — да.

Случай 2: Разность прогрессии $d \ne 0$

В этом случае все члены прогрессии должны быть различны. Так как члены прогрессии являются квадратами натуральных чисел, они не могут быть отрицательными, поэтому разность $d$ должна быть положительным целым числом. Мы докажем более сильное утверждение: не существует арифметической прогрессии, состоящей даже из четырех различных точных квадратов. Из этого будет следовать, что прогрессии из 2004 различных квадратов также не существует.

Этот знаменитый результат был доказан Пьером Ферма. Приведем его доказательство.

Предположим, что четыре различных точных квадрата $x^2, y^2, z^2, w^2$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d > 0$.

Это означает, что $y^2 - x^2 = z^2 - y^2 = w^2 - z^2 = d$.

Из этих равенств можно получить два уравнения:

$x^2 + z^2 = 2y^2$

$y^2 + w^2 = 2z^2$

Ферма показал, что существование такой четверки квадратов эквивалентно существованию прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами, площадь которого является точным квадратом. Далее он доказал, что такого треугольника не существует, используя метод бесконечного спуска.

Шаг 1. Доказательство того, что площадь прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами не может быть точным квадратом.

Пусть стороны примитивного прямоугольного треугольника (длины сторон взаимно просты) равны $A, B, C$. Их можно представить по формулам Евклида: $A = m^2 - n^2$, $B = 2mn$, $C = m^2 + n^2$, где $m, n$ — взаимно простые натуральные числа разной четности и $m>n$.

Площадь такого треугольника: $S = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(m^2-n^2)(2mn) = mn(m-n)(m+n)$.

Предположим, что площадь $S$ является точным квадратом, то есть $S=k^2$ для некоторого целого $k$.

Множители $m, n, m-n, m+n$ являются попарно взаимно простыми. Так как их произведение $mn(m-n)(m+n)$ является точным квадратом, то каждый из этих множителей также должен быть точным квадратом.

Пусть $m = p^2, n = q^2, m-n = r^2, m+n = s^2$ для некоторых натуральных $p,q,r,s$.

Из этих равенств получаем $p^2 - q^2 = r^2$ и $p^2 + q^2 = s^2$.

Рассмотрим второе равенство: $p^4 + q^4 = s^2$. Докажем, что это уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Предположим, что решение $(p, q, s)$ существует. Выберем решение с наименьшим возможным значением $s$. Можно считать $p$ и $q$ взаимно простыми. Тогда $(p^2, q^2, s)$ является примитивной пифагоровой тройкой.

По определению примитивной пифагоровой тройки, существуют взаимно простые натуральные числа $u$ и $v$ разной четности, такие что:

$p^2 = u^2 - v^2$

$q^2 = 2uv$

$s = u^2 + v^2$

Из первого уравнения, $p^2 + v^2 = u^2$, следует, что $(p, v, u)$ — это еще одна примитивная пифагорова тройка. Значит, существуют взаимно простые натуральные числа $a$ и $b$ разной четности, для которых:

$p = a^2 - b^2$

$v = 2ab$

$u = a^2 + b^2$

Подставим выражения для $u$ и $v$ в уравнение $q^2 = 2uv$:

$q^2 = 2(a^2+b^2)(2ab) = 4ab(a^2+b^2)$

Отсюда $(\frac{q}{2})^2 = ab(a^2+b^2)$.

Множители в правой части ($a, b, a^2+b^2$) являются попарно взаимно простыми. Поскольку их произведение — точный квадрат, каждый из них также должен быть точным квадратом.

$a=g^2, \quad b=h^2, \quad a^2+b^2=k^2$ для некоторых натуральных $g,h,k$.

Подставляя $a=g^2$ и $b=h^2$ в третье уравнение, получаем:

$(g^2)^2 + (h^2)^2 = k^2 \implies g^4+h^4=k^2$.

Мы получили новое решение $(g,h,k)$ для уравнения $X^4+Y^4=Z^2$. Это решение "меньше" исходного решения $(p,q,s)$, так как:

$k < k^2 = a^2+b^2 = u < u^2+v^2=s$, следовательно $k < s$.

Таким образом, для любого решения можно найти решение с меньшим натуральным числом $s$. Это создает бесконечную последовательность убывающих натуральных чисел ($s > k > \ldots$), что невозможно. Следовательно, наше предположение о существовании решения было неверным, и уравнение $p^4+q^4=s^2$ не имеет решений в натуральных числах.

Шаг 2. Заключение.

Противоречие, полученное на Шаге 1, доказывает, что не существует четырех различных точных квадратов, образующих арифметическую прогрессию. Следовательно, не может существовать и прогрессия из 2004 различных квадратов.

Ответ: Да, может. Такая прогрессия существует, если ее разность равна нулю. Например, последовательность $k^2, k^2, \ldots, k^2$ (2004 члена) для любого натурального $k$ является арифметической прогрессией, все члены которой — точные квадраты. Однако если потребовать, чтобы все члены прогрессии были различны, то такая прогрессия невозможна. Согласно теореме Ферма, не существует даже четырех различных чисел, квадраты которых образуют арифметическую прогрессию.