Номер 3.46, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.46. Является ли последовательность {$a_n$} арифметической прогрессией, заданная формулой:

1) $a_n = 3n+1;$

2) $a_n = n^2-5;$

3) $a_n = 4+n;$

4) $a_n = \frac{1}{n+4};$

5) $a_n = -0.5n+1;$

6) $a_n = 6n?$

Последовательность {$a_n$} является арифметической прогрессией, если разность между последующим и предыдущим членами постоянна для любого номера $n$. Эта разность $d=a_{n+1}-a_n$ называется разностью арифметической прогрессии.

1) $a_n = 3n+1$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = 3(n+1) + 1 = 3n + 3 + 1 = 3n + 4$.

Найдем разность:

$d = a_{n+1} - a_n = (3n + 4) - (3n + 1) = 3n + 4 - 3n - 1 = 3$.

Разность постоянна и равна 3. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, является.

2) $a_n = n^2-5$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = (n+1)^2 - 5 = (n^2 + 2n + 1) - 5 = n^2 + 2n - 4$.

Найдем разность:

$a_{n+1} - a_n = (n^2 + 2n - 4) - (n^2 - 5) = n^2 + 2n - 4 - n^2 + 5 = 2n + 1$.

Разность $2n + 1$ зависит от $n$, значит, не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

3) $a_n = 4+n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = 4 + (n+1) = n + 5$.

Найдем разность:

$d = a_{n+1} - a_n = (n + 5) - (4 + n) = n + 5 - 4 - n = 1$.

Разность постоянна и равна 1. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, является.

4) $a_n = \frac{1}{n+4}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)+4} = \frac{1}{n+5}$.

Найдем разность:

$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+5} - \frac{1}{n+4} = \frac{n+4 - (n+5)}{(n+5)(n+4)} = \frac{-1}{(n+5)(n+4)}$.

Разность зависит от $n$, значит, не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

5) $a_n = -0,5n+1$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = -0,5(n+1) + 1 = -0,5n - 0,5 + 1 = -0,5n + 0,5$.

Найдем разность:

$d = a_{n+1} - a_n = (-0,5n + 0,5) - (-0,5n + 1) = -0,5n + 0,5 + 0,5n - 1 = -0,5$.

Разность постоянна и равна -0,5. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, является.

6) $a_n = 6n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = 6(n+1) = 6n + 6$.

Найдем разность:

$d = a_{n+1} - a_n = (6n + 6) - 6n = 6$.

Разность постоянна и равна 6. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, является.