Номер 3.42, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

последовательности

3.42. Какие 8 чисел нужно разместить между числами 1 и 16 так, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию?

Пусть искомая последовательность чисел является арифметической прогрессией $(a_n)$. Согласно условию, первый член этой прогрессии $a_1 = 1$. Мы должны вставить 8 чисел между 1 и 16. Это означает, что общее количество членов в прогрессии будет равно $2$ (данные числа) $+ 8$ (вставляемые числа) $= 10$. Таким образом, число 16 является последним, десятым членом прогрессии, то есть $a_{10} = 16$.

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим в нее наши значения: $n=10$, $a_1=1$, $a_{10}=16$.
$16 = 1 + (10-1)d$
$16 = 1 + 9d$
$9d = 16 - 1$
$9d = 15$
$d = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$

Теперь, зная разность прогрессии $d = \frac{5}{3}$, мы можем найти 8 чисел, которые находятся между 1 и 16. Это члены прогрессии со второго ($a_2$) по девятый ($a_9$):
$a_2 = a_1 + d = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3}$
$a_3 = a_2 + d = \frac{8}{3} + \frac{5}{3} = \frac{13}{3}$
$a_4 = a_3 + d = \frac{13}{3} + \frac{5}{3} = \frac{18}{3} = 6$
$a_5 = a_4 + d = 6 + \frac{5}{3} = \frac{18}{3} + \frac{5}{3} = \frac{23}{3}$
$a_6 = a_5 + d = \frac{23}{3} + \frac{5}{3} = \frac{28}{3}$
$a_7 = a_6 + d = \frac{28}{3} + \frac{5}{3} = \frac{33}{3} = 11$
$a_8 = a_7 + d = 11 + \frac{5}{3} = \frac{33}{3} + \frac{5}{3} = \frac{38}{3}$
$a_9 = a_8 + d = \frac{38}{3} + \frac{5}{3} = \frac{43}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}, \frac{13}{3}, 6, \frac{23}{3}, \frac{28}{3}, 11, \frac{38}{3}, \frac{43}{3}$.