Номер 3.40, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.40. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии ${c_n}$, если:

1) $c_5=27, c_{27}=60$

2) $c_{20}=0, c_{66}=-92$

Для нахождения первого члена $c_1$ и разности $d$ арифметической прогрессии $\{c_n\}$ воспользуемся формулой n-го члена: $c_n = c_1 + (n-1)d$. Для каждого пункта мы составим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными ($c_1$ и $d$) и решим ее.

1) Дано: $c_5 = 27$ и $c_{27} = 60$.
Используя формулу n-го члена, запишем два уравнения:
Для $n=5$: $c_5 = c_1 + (5-1)d \implies c_1 + 4d = 27$.
Для $n=27$: $c_{27} = c_1 + (27-1)d \implies c_1 + 26d = 60$.
Получили систему уравнений:
$ \begin{cases} c_1 + 4d = 27 & (1) \\ c_1 + 26d = 60 & (2) \end{cases} $
Вычтем уравнение (1) из уравнения (2), чтобы найти разность $d$:
$(c_1 + 26d) - (c_1 + 4d) = 60 - 27$
$22d = 33$
$d = \frac{33}{22} = \frac{3}{2} = 1.5$
Теперь подставим найденное значение $d=1.5$ в уравнение (1), чтобы найти первый член $c_1$:
$c_1 + 4 \cdot 1.5 = 27$
$c_1 + 6 = 27$
$c_1 = 27 - 6$
$c_1 = 21$
Ответ: $c_1 = 21$, $d = 1.5$.

2) Дано: $c_{20} = 0$ и $c_{66} = -92$.
Аналогично первому пункту, составим систему уравнений:
Для $n=20$: $c_{20} = c_1 + (20-1)d \implies c_1 + 19d = 0$.
Для $n=66$: $c_{66} = c_1 + (66-1)d \implies c_1 + 65d = -92$.
Получили систему уравнений:
$ \begin{cases} c_1 + 19d = 0 & (1) \\ c_1 + 65d = -92 & (2) \end{cases} $
Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
$(c_1 + 65d) - (c_1 + 19d) = -92 - 0$
$46d = -92$
$d = \frac{-92}{46} = -2$
Теперь найдем первый член $c_1$. Из уравнения (1) выразим $c_1$:
$c_1 = -19d$
Подставим найденное значение $d=-2$:
$c_1 = -19 \cdot (-2)$
$c_1 = 38$
Ответ: $c_1 = 38$, $d = -2$.