Номер 3.43, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.43. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если:

1)

$\begin{cases} a_1 + a_{10} = 12, \\ a_8 - a_5 = 4; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} a_5 + a_{11} = -0,2, \\ a_4 + a_{10} = 2,6. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $\begin{cases} a_1 + a_{10} = 12 \\ a_8 - a_5 = 4 \end{cases}$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ - первый член, а $d$ - разность прогрессии.

Из второго уравнения системы $a_8 - a_5 = 4$ можно найти разность $d$. Выразим $a_8$ и $a_5$ через $a_1$ и $d$:

$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

Подставим в уравнение:

$(a_1 + 7d) - (a_1 + 4d) = 4$

$a_1 + 7d - a_1 - 4d = 4$

$3d = 4 \Rightarrow d = \frac{4}{3}$.

Теперь из первого уравнения $a_1 + a_{10} = 12$ найдем первый член $a_1$. Выразим $a_{10}$:

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

Подставим в уравнение:

$a_1 + (a_1 + 9d) = 12$

$2a_1 + 9d = 12$

Подставим найденное значение $d = \frac{4}{3}$:

$2a_1 + 9 \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = 12$

$2a_1 + 3 \cdot 4 = 12$

$2a_1 + 12 = 12$

$2a_1 = 0 \Rightarrow a_1 = 0$.

Ответ: $a_1 = 0$, $d = \frac{4}{3}$.

2) Дана система уравнений: $\begin{cases} a_5 + a_{11} = -0,2 \\ a_4 + a_{10} = 2,6 \end{cases}$.

Вычтем второе уравнение системы из первого:

$(a_5 + a_{11}) - (a_4 + a_{10}) = -0,2 - 2,6$

Перегруппируем слагаемые:

$(a_5 - a_4) + (a_{11} - a_{10}) = -2,8$

По определению арифметической прогрессии, разность между любым членом прогрессии и предыдущим ему членом равна разности прогрессии $d$. Значит, $a_5 - a_4 = d$ и $a_{11} - a_{10} = d$.

Получаем уравнение:

$d + d = -2,8$

$2d = -2,8 \Rightarrow d = -1,4$.

Теперь найдем первый член $a_1$. Используем, например, второе уравнение $a_4 + a_{10} = 2,6$. Выразим его члены через $a_1$ и $d$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

Подставим в уравнение:

$(a_1 + 3d) + (a_1 + 9d) = 2,6$

$2a_1 + 12d = 2,6$

Подставим найденное значение $d = -1,4$:

$2a_1 + 12 \cdot (-1,4) = 2,6$

$2a_1 - 16,8 = 2,6$

$2a_1 = 2,6 + 16,8$

$2a_1 = 19,4 \Rightarrow a_1 = 9,7$.

Ответ: $a_1 = 9,7$, $d = -1,4$.