Страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

последовательности

3.42. Какие 8 чисел нужно разместить между числами 1 и 16 так, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию?

Пусть искомая последовательность чисел является арифметической прогрессией $(a_n)$. Согласно условию, первый член этой прогрессии $a_1 = 1$. Мы должны вставить 8 чисел между 1 и 16. Это означает, что общее количество членов в прогрессии будет равно $2$ (данные числа) $+ 8$ (вставляемые числа) $= 10$. Таким образом, число 16 является последним, десятым членом прогрессии, то есть $a_{10} = 16$.

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим в нее наши значения: $n=10$, $a_1=1$, $a_{10}=16$.
$16 = 1 + (10-1)d$
$16 = 1 + 9d$
$9d = 16 - 1$
$9d = 15$
$d = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$

Теперь, зная разность прогрессии $d = \frac{5}{3}$, мы можем найти 8 чисел, которые находятся между 1 и 16. Это члены прогрессии со второго ($a_2$) по девятый ($a_9$):
$a_2 = a_1 + d = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3}$
$a_3 = a_2 + d = \frac{8}{3} + \frac{5}{3} = \frac{13}{3}$
$a_4 = a_3 + d = \frac{13}{3} + \frac{5}{3} = \frac{18}{3} = 6$
$a_5 = a_4 + d = 6 + \frac{5}{3} = \frac{18}{3} + \frac{5}{3} = \frac{23}{3}$
$a_6 = a_5 + d = \frac{23}{3} + \frac{5}{3} = \frac{28}{3}$
$a_7 = a_6 + d = \frac{28}{3} + \frac{5}{3} = \frac{33}{3} = 11$
$a_8 = a_7 + d = 11 + \frac{5}{3} = \frac{33}{3} + \frac{5}{3} = \frac{38}{3}$
$a_9 = a_8 + d = \frac{38}{3} + \frac{5}{3} = \frac{43}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}, \frac{13}{3}, 6, \frac{23}{3}, \frac{28}{3}, 11, \frac{38}{3}, \frac{43}{3}$.

3.43. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если:

1)

$\begin{cases} a_1 + a_{10} = 12, \\ a_8 - a_5 = 4; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} a_5 + a_{11} = -0,2, \\ a_4 + a_{10} = 2,6. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $\begin{cases} a_1 + a_{10} = 12 \\ a_8 - a_5 = 4 \end{cases}$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ - первый член, а $d$ - разность прогрессии.

Из второго уравнения системы $a_8 - a_5 = 4$ можно найти разность $d$. Выразим $a_8$ и $a_5$ через $a_1$ и $d$:

$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

Подставим в уравнение:

$(a_1 + 7d) - (a_1 + 4d) = 4$

$a_1 + 7d - a_1 - 4d = 4$

$3d = 4 \Rightarrow d = \frac{4}{3}$.

Теперь из первого уравнения $a_1 + a_{10} = 12$ найдем первый член $a_1$. Выразим $a_{10}$:

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

Подставим в уравнение:

$a_1 + (a_1 + 9d) = 12$

$2a_1 + 9d = 12$

Подставим найденное значение $d = \frac{4}{3}$:

$2a_1 + 9 \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = 12$

$2a_1 + 3 \cdot 4 = 12$

$2a_1 + 12 = 12$

$2a_1 = 0 \Rightarrow a_1 = 0$.

Ответ: $a_1 = 0$, $d = \frac{4}{3}$.

2) Дана система уравнений: $\begin{cases} a_5 + a_{11} = -0,2 \\ a_4 + a_{10} = 2,6 \end{cases}$.

Вычтем второе уравнение системы из первого:

$(a_5 + a_{11}) - (a_4 + a_{10}) = -0,2 - 2,6$

Перегруппируем слагаемые:

$(a_5 - a_4) + (a_{11} - a_{10}) = -2,8$

По определению арифметической прогрессии, разность между любым членом прогрессии и предыдущим ему членом равна разности прогрессии $d$. Значит, $a_5 - a_4 = d$ и $a_{11} - a_{10} = d$.

Получаем уравнение:

$d + d = -2,8$

$2d = -2,8 \Rightarrow d = -1,4$.

Теперь найдем первый член $a_1$. Используем, например, второе уравнение $a_4 + a_{10} = 2,6$. Выразим его члены через $a_1$ и $d$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

Подставим в уравнение:

$(a_1 + 3d) + (a_1 + 9d) = 2,6$

$2a_1 + 12d = 2,6$

Подставим найденное значение $d = -1,4$:

$2a_1 + 12 \cdot (-1,4) = 2,6$

$2a_1 - 16,8 = 2,6$

$2a_1 = 2,6 + 16,8$

$2a_1 = 19,4 \Rightarrow a_1 = 9,7$.

Ответ: $a_1 = 9,7$, $d = -1,4$.

3.44. Является ли число:

членом арифметической прогрессии $2; 9; ...$?

членом арифметической прогрессии $2; 9; ...$?

Для того чтобы определить, является ли число членом заданной арифметической прогрессии, необходимо сначала найти ее параметры: первый член и разность.

Дана арифметическая прогрессия, начинающаяся с чисел 2; 9; ...

Первый член прогрессии $a_1 = 2$.

Второй член прогрессии $a_2 = 9$.

Разность арифметической прогрессии $d$ вычисляется как разница между последующим и предыдущим членами:

$d = a_2 - a_1 = 9 - 2 = 7$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставив наши значения, получим: $a_n = 2 + (n-1) \cdot 7$.

Число является членом прогрессии, если для него можно найти такой номер $n$, который является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

1) 156

Проверим, является ли число 156 членом этой прогрессии. Для этого подставим $a_n = 156$ в формулу и решим уравнение относительно $n$:

$156 = 2 + (n-1) \cdot 7$

$156 - 2 = (n-1) \cdot 7$

$154 = (n-1) \cdot 7$

$n-1 = \frac{154}{7}$

$n-1 = 22$

$n = 22 + 1$

$n = 23$

Так как $n = 23$ является натуральным числом, число 156 является 23-м членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: да, является.

2) 295

Проверим, является ли число 295 членом этой прогрессии. Подставим $a_n = 295$ в формулу:

$295 = 2 + (n-1) \cdot 7$

$295 - 2 = (n-1) \cdot 7$

$293 = (n-1) \cdot 7$

$n-1 = \frac{293}{7}$

Поскольку 293 не делится нацело на 7 ($293 = 7 \cdot 41 + 6$), то $n-1$ не является целым числом.

$n = \frac{293}{7} + 1 = \frac{293+7}{7} = \frac{300}{7}$

Так как $n = \frac{300}{7}$ не является натуральным числом, число 295 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: нет, не является.

3.45. При каких значениях $n$ арифметической прогрессии

$\{x_n\}$ выполняется неравенство:

1) $x_n \ge 0, x_{n+1} < 0$, если $x_1=8,7, d=-0,3,$?

1)

Дана арифметическая прогрессия $\{x_n\}$ с первым членом $x_1 = 8,7$ и разностью $d = -0,3$. Необходимо найти такое натуральное число $n$, при котором одновременно выполняются два неравенства: $x_n \ge 0$ и $x_{n+1} < 0$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $x_n = x_1 + (n-1)d$.

Нам нужно решить систему из двух неравенств относительно $n$, где $n$ - натуральное число:
$\{ \begin{matrix} x_n \ge 0 \\ x_{n+1} < 0 \end{matrix} $
Подставим в неравенства формулу n-го члена с заданными значениями $x_1$ и $d$:
$\{ \begin{matrix} x_1 + (n-1)d \ge 0 \\ x_1 + nd < 0 \end{matrix} $
$\{ \begin{matrix} 8,7 + (n-1)(-0,3) \ge 0 \\ 8,7 + n(-0,3) < 0 \end{matrix} $

Решим каждое неравенство отдельно.
Первое неравенство:
$8,7 - 0,3(n-1) \ge 0$
$8,7 - 0,3n + 0,3 \ge 0$
$9 - 0,3n \ge 0$
$9 \ge 0,3n$
$n \le \frac{9}{0,3}$
$n \le 30$

Второе неравенство:
$8,7 - 0,3n < 0$
$8,7 < 0,3n$
$n > \frac{8,7}{0,3}$
$n > 29$

Мы получили, что искомое натуральное число $n$ должно удовлетворять двойному неравенству $29 < n \le 30$. Единственное натуральное число, удовлетворяющее этому условию, — это $n=30$.

Сделаем проверку:
Найдем $x_{30}$: $x_{30} = x_1 + (30-1)d = 8,7 + 29 \cdot (-0,3) = 8,7 - 8,7 = 0$. Условие $x_{30} \ge 0$ выполняется, так как $0 \ge 0$.
Найдем $x_{31}$: $x_{31} = x_1 + (31-1)d = 8,7 + 30 \cdot (-0,3) = 8,7 - 9,0 = -0,3$. Условие $x_{31} < 0$ выполняется, так как $-0,3 < 0$.
Оба условия для $n=30$ выполняются.

Ответ: $n=30$.

3.46. Является ли последовательность {$a_n$} арифметической прогрессией, заданная формулой:

1) $a_n = 3n+1;$

2) $a_n = n^2-5;$

3) $a_n = 4+n;$

4) $a_n = \frac{1}{n+4};$

5) $a_n = -0.5n+1;$

6) $a_n = 6n?$

Последовательность {$a_n$} является арифметической прогрессией, если разность между последующим и предыдущим членами постоянна для любого номера $n$. Эта разность $d=a_{n+1}-a_n$ называется разностью арифметической прогрессии.

1) $a_n = 3n+1$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = 3(n+1) + 1 = 3n + 3 + 1 = 3n + 4$.

Найдем разность:

$d = a_{n+1} - a_n = (3n + 4) - (3n + 1) = 3n + 4 - 3n - 1 = 3$.

Разность постоянна и равна 3. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, является.

2) $a_n = n^2-5$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = (n+1)^2 - 5 = (n^2 + 2n + 1) - 5 = n^2 + 2n - 4$.

Найдем разность:

$a_{n+1} - a_n = (n^2 + 2n - 4) - (n^2 - 5) = n^2 + 2n - 4 - n^2 + 5 = 2n + 1$.

Разность $2n + 1$ зависит от $n$, значит, не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

3) $a_n = 4+n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = 4 + (n+1) = n + 5$.

Найдем разность:

$d = a_{n+1} - a_n = (n + 5) - (4 + n) = n + 5 - 4 - n = 1$.

Разность постоянна и равна 1. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, является.

4) $a_n = \frac{1}{n+4}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)+4} = \frac{1}{n+5}$.

Найдем разность:

$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+5} - \frac{1}{n+4} = \frac{n+4 - (n+5)}{(n+5)(n+4)} = \frac{-1}{(n+5)(n+4)}$.

Разность зависит от $n$, значит, не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

5) $a_n = -0,5n+1$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = -0,5(n+1) + 1 = -0,5n - 0,5 + 1 = -0,5n + 0,5$.

Найдем разность:

$d = a_{n+1} - a_n = (-0,5n + 0,5) - (-0,5n + 1) = -0,5n + 0,5 + 0,5n - 1 = -0,5$.

Разность постоянна и равна -0,5. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, является.

6) $a_n = 6n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = 6(n+1) = 6n + 6$.

Найдем разность:

$d = a_{n+1} - a_n = (6n + 6) - 6n = 6$.

Разность постоянна и равна 6. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, является.

3.47. Пусть $a_p=q$, $a_q=p$. Выразите $n$-й член арифметической прогрессии $\{a_n\}$ через $n, p$ и $q$.

Пусть $\{a_n\}$ – арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию задачи даны два члена прогрессии: $a_p = q$ и $a_q = p$.

Используя формулу n-го члена, запишем эти условия в виде системы уравнений относительно неизвестных $a_1$ и $d$:

1) $a_1 + (p-1)d = q$

2) $a_1 + (q-1)d = p$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти разность прогрессии $d$:

$(a_1 + (p-1)d) - (a_1 + (q-1)d) = q - p$

$a_1 + pd - d - a_1 - qd + d = q - p$

$pd - qd = q - p$

$(p-q)d = -(p-q)$

Так как по условию $p$ и $q$ являются разными индексами членов прогрессии, можно считать, что $p \neq q$. Тогда разделим обе части на $(p-q)$:

$d = -1$

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$. Для этого подставим найденное значение $d = -1$ в первое уравнение системы:

$a_1 + (p-1)(-1) = q$

$a_1 - p + 1 = q$

$a_1 = p + q - 1$

Зная $a_1$ и $d$, мы можем записать формулу для n-го члена прогрессии $a_n$ и выразить его через $n$, $p$ и $q$:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_n = (p + q - 1) + (n-1)(-1)$

$a_n = p + q - 1 - n + 1$

$a_n = p + q - n$

Ответ: $a_n = p + q - n$.

3.48. Сколько общих членов имеют арифметические прогрессии 5, 8, 11, ... и 3, 7, 11, .... при $n=100$?

Обозначим первую арифметическую прогрессию как $(a_k)$ и вторую как $(b_m)$.

Для первой прогрессии $5, 8, 11, \ldots$ имеем:

Первый член $a_1 = 5$.

Разность прогрессии $d_a = 8 - 5 = 3$.

Формула для $k$-го члена этой прогрессии имеет вид:$a_k = a_1 + (k-1)d_a = 5 + (k-1) \cdot 3 = 5 + 3k - 3 = 3k + 2$.

Для второй прогрессии $3, 7, 11, \ldots$ имеем:

Первый член $b_1 = 3$.

Разность прогрессии $d_b = 7 - 3 = 4$.

Формула для $m$-го члена этой прогрессии имеет вид:$b_m = b_1 + (m-1)d_b = 3 + (m-1) \cdot 4 = 3 + 4m - 4 = 4m - 1$.

Согласно условию задачи, мы рассматриваем первые 100 членов каждой прогрессии, что означает, что номера членов $k$ и $m$ находятся в диапазоне от 1 до 100, то есть $1 \le k \le 100$ и $1 \le m \le 100$.

Общие члены прогрессий — это те числа, которые присутствуют в обеих последовательностях. Для их нахождения необходимо приравнять формулы для $k$-го и $m$-го членов:$a_k = b_m$

$3k + 2 = 4m - 1$

Получили диофантово уравнение. Преобразуем его для решения в целых числах:$3k + 3 = 4m$

$3(k+1) = 4m$

Из этого уравнения видно, что левая часть делится на 3. Следовательно, и правая часть ($4m$) должна делиться на 3. Так как числа 4 и 3 являются взаимно простыми, то $m$ должно быть кратно 3.

Введем параметр $j$ (целое положительное число), такой что $m = 3j$.

Теперь подставим это выражение для $m$ обратно в уравнение $3(k+1) = 4m$:$3(k+1) = 4(3j)$

$3(k+1) = 12j$

Разделим обе части на 3:$k+1 = 4j$

$k = 4j - 1$

Таким образом, мы нашли общую форму для номеров $k$ и $m$ общих членов прогрессий. Теперь нужно определить, сколько целых значений $j$ удовлетворяют заданным ограничениям на $k$ и $m$.

Применим ограничения $1 \le k \le 100$ и $1 \le m \le 100$:

1. Для $k$:$1 \le 4j - 1 \le 100$

$1+1 \le 4j \le 100+1$

$2 \le 4j \le 101$

$\frac{2}{4} \le j \le \frac{101}{4}$

$0.5 \le j \le 25.25$

2. Для $m$:$1 \le 3j \le 100$

$\frac{1}{3} \le j \le \frac{100}{3}$

$0.33... \le j \le 33.33...$

Поскольку $j$ должно быть целым числом, из первого неравенства следует, что $j$ может принимать значения из множества $\{1, 2, \ldots, 25\}$. Из второго неравенства следует, что $j$ может принимать значения из множества $\{1, 2, \ldots, 33\}$.

Чтобы член был общим для первых 100 членов обеих прогрессий, оба условия должны выполняться одновременно. Следовательно, мы должны найти пересечение этих двух множеств допустимых значений $j$.

Пересечением является диапазон $1 \le j \le 25$.

Количество целых чисел в этом диапазоне равно $25 - 1 + 1 = 25$. Каждое такое значение $j$ соответствует одному уникальному общему члену.

Ответ: 25.

3.49. Найдите двадцатый член возрастающей арифметической прогрессии $ {a_n} $, если выполняются равенства $ a_2 a_5 = 52 $ и $ a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 34 $.

Пусть дана возрастающая арифметическая прогрессия $\{a_n\}$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. По условию, прогрессия является возрастающей, следовательно, ее разность $d > 0$.

Нам даны два равенства:

1. $a_2 \cdot a_5 = 52$

2. $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 34$

Рассмотрим второе равенство. Воспользуемся свойством арифметической прогрессии: сумма членов, равноудаленных от концов, одинакова. Для членов $a_2, a_3, a_4, a_5$ справедливо равенство $a_2 + a_5 = a_3 + a_4$.

Тогда второе равенство можно переписать так:

$(a_2 + a_5) + (a_3 + a_4) = 34$

$(a_2 + a_5) + (a_2 + a_5) = 34$

$2(a_2 + a_5) = 34$

$a_2 + a_5 = 17$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $a_2$ и $a_5$:

$\begin{cases} a_2 + a_5 = 17 \\ a_2 \cdot a_5 = 52 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, числа $a_2$ и $a_5$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 17x + 52 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 52 = 289 - 208 = 81$

Корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{81}}{2} = \frac{17 - 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{81}}{2} = \frac{17 + 9}{2} = \frac{26}{2} = 13$

Таким образом, значения членов $a_2$ и $a_5$ — это 4 и 13. Поскольку по условию прогрессия возрастающая, то для $n > m$ должно выполняться $a_n > a_m$. Так как $5 > 2$, то $a_5 > a_2$. Следовательно, $a_2 = 4$ и $a_5 = 13$.

Теперь найдем разность прогрессии $d$. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$. Выразим $a_5$ через $a_2$:

$a_5 = a_2 + (5-2)d$

$13 = 4 + 3d$

$3d = 13 - 4$

$3d = 9$

$d = 3$

Так как $d = 3 > 0$, условие о возрастании прогрессии выполняется.

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, используя $a_2$:

$a_2 = a_1 + (2-1)d$

$4 = a_1 + 3$

$a_1 = 4 - 3 = 1$

Наконец, найдем двадцатый член прогрессии $a_{20}$ по формуле n-го члена:

$a_{20} = a_1 + (20-1)d$

$a_{20} = 1 + 19 \cdot 3$

$a_{20} = 1 + 57$

$a_{20} = 58$

Ответ: 58

3.50. Докажите, что последовательность $(a+x)^2$, $a^2+x^2$, $(a-x)^2$, ... образует арифметическую прогрессию.

Для того чтобы доказать, что последовательность $(a+x)^2, a^2+x^2, (a-x)^2, ...$ является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между её соседними членами является постоянной величиной (эта величина называется разностью арифметической прогрессии).

Обозначим члены последовательности:
$b_1 = (a+x)^2$
$b_2 = a^2+x^2$
$b_3 = (a-x)^2$

Используя формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и квадрат разности), раскроем выражения для первого и третьего членов:
$b_1 = (a+x)^2 = a^2 + 2ax + x^2$
$b_3 = (a-x)^2 = a^2 - 2ax + x^2$

Теперь найдем разность между вторым и первым членами последовательности:
$d_1 = b_2 - b_1 = (a^2 + x^2) - (a^2 + 2ax + x^2) = a^2 + x^2 - a^2 - 2ax - x^2 = -2ax$

Далее найдем разность между третьим и вторым членами последовательности:
$d_2 = b_3 - b_2 = (a^2 - 2ax + x^2) - (a^2 + x^2) = a^2 - 2ax + x^2 - a^2 - x^2 = -2ax$

Так как разность между соседними членами последовательности постоянна и равна $-2ax$ ($d_1 = d_2 = -2ax$), то данная последовательность по определению является арифметической прогрессией.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3.51. Покажите, что выполняется равенство $\frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + \dots + \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \frac{n-1}{a_1a_n}$, если числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Здесь $a_1 \neq 0, a_2 \neq 0, \dots, a_n \neq 0$.

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_1, a_2, \dots, a_n$ с разностью $d$. По определению арифметической прогрессии, для любого натурального $k$ от $1$ до $n-1$ справедливо равенство $a_{k+1} - a_k = d$. По условию задачи, все члены прогрессии отличны от нуля ($a_k \neq 0$).

Для доказательства равенства рассмотрим два возможных случая в зависимости от значения разности прогрессии $d$.

1. Случай $d=0$.
Если разность прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой: $a_1 = a_2 = \dots = a_n = a$. Поскольку по условию $a_k \neq 0$, то и $a \neq 0$.
Левая часть исходного равенства представляет собой сумму $n-1$ одинаковых слагаемых:
$ \frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + \dots + \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \underbrace{\frac{1}{a \cdot a} + \frac{1}{a \cdot a} + \dots + \frac{1}{a \cdot a}}_{n-1 \text{ раз}} = (n-1) \frac{1}{a^2} = \frac{n-1}{a^2} $
Правая часть равенства в этом случае равна:
$ \frac{n-1}{a_1 a_n} = \frac{n-1}{a \cdot a} = \frac{n-1}{a^2} $
Левая и правая части равны, следовательно, при $d=0$ равенство выполняется.

2. Случай $d \neq 0$.
Преобразуем общий член суммы $ \frac{1}{a_k a_{k+1}} $, используя разность прогрессии $d = a_{k+1} - a_k$. Поскольку $d \neq 0$, мы можем на него делить:
$ \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \cdot \frac{d}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \cdot \frac{a_{k+1} - a_k}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{a_{k+1}}{a_k a_{k+1}} - \frac{a_k}{a_k a_{k+1}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right) $.
Теперь запишем всю сумму $S$, находящуюся в левой части доказываемого равенства, используя это представление для каждого слагаемого:
$ S = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{d} \left(\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}}\right) $.
Вынесем постоянный множитель $\frac{1}{d}$ за знак суммы. Оставшаяся сумма является телескопической (или "сворачивающейся"):
$ S = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}}\right) = \frac{1}{d} \left[ \left(\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2}\right) + \left(\frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{a_{n-1}} - \frac{1}{a_n}\right) \right] $.
Все промежуточные члены в квадратных скобках взаимно уничтожаются, и остаются только первый и последний члены:
$ S = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_n} \right) $.
Приводя дроби в скобках к общему знаменателю, получаем:
$ S = \frac{1}{d} \cdot \frac{a_n - a_1}{a_1 a_n} $.
Из формулы n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ следует, что разность $a_n - a_1 = (n-1)d$. Подставим это выражение в формулу для $S$:
$ S = \frac{1}{d} \cdot \frac{(n-1)d}{a_1 a_n} = \frac{n-1}{a_1 a_n} $.
Это в точности совпадает с правой частью исходного равенства.

Поскольку равенство выполняется как при $d=0$, так и при $d \neq 0$, оно доказано для любой арифметической прогрессии, удовлетворяющей условиям задачи.

Ответ: Равенство $\frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_2a_3} + \dots + \frac{1}{a_{n-1}a_n} = \frac{n-1}{a_1a_n}$ доказано.