Страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое индукция?

2. Как вы понимаете полную (неполную) индукцию?

3. Сформулируйте метод математической индукции.

1. Что такое индукция?

Индукция (от латинского inductio — наведение, побуждение) — это метод логического рассуждения и познания, основанный на переходе от частных, единичных случаев к общему выводу. В процессе индуктивного умозаключения на основе повторяющихся фактов и наблюдений делается обобщение, которое распространяется на все объекты данного класса. Индукция является противоположностью дедукции, где рассуждение идет от общего к частному.

Ключевая особенность индуктивных выводов заключается в их вероятностном характере. Даже если большое количество наблюдений подтверждает некое общее правило, это не даёт стопроцентной гарантии его истинности, так как всегда существует возможность встретить случай, опровергающий это правило. Например, наблюдая, что Солнце вставало на востоке каждый день в прошлом, мы индуктивно заключаем, что оно встанет на востоке и завтра. Этот вывод весьма вероятен, но не является логически неопровержимым.

Ответ: Индукция — это метод рассуждения от частных фактов к общему выводу, который, как правило, носит вероятностный характер.

2. Как вы понимаете полную (неполную) индукцию?

Различие между полной и неполной индукцией заключается в объеме исследуемых случаев, на которых основывается вывод.

Полная индукция — это метод умозаключения, при котором общий вывод о классе предметов делается на основании изучения каждого предмета этого класса. Этот метод применим только тогда, когда число предметов в классе конечно и обозримо. Поскольку вывод охватывает все без исключения случаи, он является достоверным и логически необходимым. Например, чтобы установить, что в каждом месяце календарного года меньше 32 дней, можно проверить все 12 месяцев. Так как это утверждение верно для каждого из них, общий вывод будет абсолютно точным.

Неполная индукция — это метод, при котором общий вывод о классе предметов делается на основании изучения лишь некоторой части этих предметов. К неполной индукции прибегают, когда невозможно исследовать все элементы класса (например, если он бесконечен или очень велик). Выводы, полученные таким путем, всегда носят вероятностный характер. Степень их правдоподобности зависит от количества, разнообразия и репрезентативности изученных случаев. Классический пример — утверждение «все лебеди белые», сделанное на основе наблюдений за лебедями в Европе. Этот вывод был опровергнут, когда в Австралии обнаружили черных лебедей, что демонстрирует принципиальную опровержимость выводов неполной индукции.

Ответ: Полная индукция делает достоверный вывод, изучая все элементы конечного множества. Неполная индукция делает вероятностный вывод (обобщение) на основе изучения лишь части множества.

3. Сформулируйте метод математической индукции.

Метод математической индукции — это строгий метод доказательства, используемый в математике для установления истинности некоторого утверждения $P(n)$ для всех натуральных чисел $n$, начиная с некоторого числа $n_0$ (чаще всего $n_0 = 1$). Несмотря на слово «индукция» в названии, этот метод является формой дедуктивного рассуждения, так как его выводы абсолютно достоверны.

Принцип доказательства методом математической индукции состоит из двух обязательных шагов:

1. Базис индукции (база): Доказывается, что утверждение $P(n)$ верно для начального значения $n = n_0$. То есть необходимо проверить и подтвердить истинность $P(n_0)$.

2. Индукционный шаг (переход): Доказывается, что если утверждение $P(n)$ верно для некоторого произвольного натурального числа $n=k$ (где $k \ge n_0$), то оно обязательно будет верно и для следующего натурального числа $n=k+1$. Этот шаг включает в себя:

а) Индукционное предположение: Предполагается, что утверждение $P(k)$ истинно для некоего $k \ge n_0$.

б) Доказательство перехода: Используя индукционное предположение как данность, доказывается истинность утверждения $P(k+1)$.

Если оба шага — базис индукции и индукционный шаг — успешно выполнены, то по аксиоме математической индукции делается вывод, что утверждение $P(n)$ истинно для всех натуральных чисел $n \ge n_0$.

Ответ: Метод математической индукции — это способ доказательства утверждений для всех натуральных чисел $n \ge n_0$, состоящий из двух шагов: доказательства истинности утверждения для $n=n_0$ (базис индукции) и доказательства того, что из истинности утверждения для $n=k$ следует его истинность для $n=k+1$ (индукционный шаг).

3.21. Докажите тождества, используя метод математической индукции:

1) $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2};$

2) $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6};$

3) $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4};$

4) $1^3 + 3^3 + 5^3 + ... + (2n - 1)^3 = n^2(2n^2 - 1);$

5) $1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n - 1)^2 = \frac{n(2n - 1)(2n + 1)}{3};$

6) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + ... + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3};$

7) $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + ... + n(3n+1) = n(n+1)^2;$

8) $1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + ... + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4};$

9) $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + ... + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{3n+1};$

10) $\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + ... + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = \frac{n}{4n+1}.$

1) Докажем тождество $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим утверждение для $n=1$.
Левая часть (ЛЧ): $1$.
Правая часть (ПЧ): $\frac{1(1+1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть выполняется равенство (индукционное предположение):
$1 + 2 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}$.

Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть: $1 + 2 + \dots + k + (k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$.
Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:
$S_{k+1} = (1 + 2 + \dots + k) + (k+1)$.
Используя индукционное предположение, заменим сумму в скобках:
$S_{k+1} = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$.
Приведем к общему знаменателю и вынесем общий множитель $(k+1)$:
$S_{k+1} = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$.
Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$. Следовательно, утверждение верно для всех натуральных $n$.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим для $n=1$.
ЛЧ: $1^2 = 1$.
ПЧ: $\frac{1(1+1)(2 \cdot 1+1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$1^2 + 2^2 + \dots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $1^2 + \dots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:
$S_{k+1} = (1^2 + 2^2 + \dots + k^2) + (k+1)^2$.
Используя предположение:
$S_{k+1} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = (k+1) \left( \frac{k(2k+1)}{6} + k+1 \right)$.
$S_{k+1} = (k+1) \frac{2k^2+k+6k+6}{6} = (k+1) \frac{2k^2+7k+6}{6}$.
Разложим на множители квадратный трехчлен $2k^2+7k+6 = (k+2)(2k+3)$.
$S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.
Получили правую часть равенства для $n=k+1$.

Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим для $n=1$.
ЛЧ: $1^3 = 1$.
ПЧ: $\frac{1^2(1+1)^2}{4} = \frac{1 \cdot 4}{4} = 1$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$1^3 + 2^3 + \dots + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $1^3 + \dots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:
$S_{k+1} = (1^3 + 2^3 + \dots + k^3) + (k+1)^3$.
Используя предположение:
$S_{k+1} = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = (k+1)^2 \left( \frac{k^2}{4} + k+1 \right)$.
$S_{k+1} = (k+1)^2 \frac{k^2+4k+4}{4} = (k+1)^2 \frac{(k+2)^2}{4} = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$.
Получили правую часть равенства для $n=k+1$.

Ответ: тождество доказано.

4) Докажем тождество $1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2n-1)^3 = n^2(2n^2-1)$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим для $n=1$.
ЛЧ: $(2 \cdot 1 - 1)^3 = 1^3 = 1$.
ПЧ: $1^2(2 \cdot 1^2 - 1) = 1(2-1) = 1$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$1^3 + 3^3 + \dots + (2k-1)^3 = k^2(2k^2-1)$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $1^3 + \dots + (2k-1)^3 + (2k+1)^3 = (k+1)^2(2(k+1)^2-1)$.
Правая часть для $n=k+1$ равна: $(k+1)^2(2(k^2+2k+1)-1) = (k+1)^2(2k^2+4k+1)$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:
$S_{k+1} = (1^3 + \dots + (2k-1)^3) + (2(k+1)-1)^3 = k^2(2k^2-1) + (2k+1)^3$.
$S_{k+1} = 2k^4 - k^2 + (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) = 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1$.
Раскроем скобки в целевом выражении:
$(k+1)^2(2k^2+4k+1) = (k^2+2k+1)(2k^2+4k+1) = 2k^4+4k^3+k^2+4k^3+8k^2+2k+2k^2+4k+1 = 2k^4+8k^3+11k^2+6k+1$.
Левая и правая части совпали.

Ответ: тождество доказано.

5) Докажем тождество $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ методом математической индукции.
Примечание: в условии задачи, вероятно, опечатка в записи начальных членов ряда. Общий член $(2n-1)^2$ задает сумму квадратов нечетных чисел ($1^2, 3^2, \dots$), а не всех натуральных чисел. Доказательство проводится для суммы квадратов нечетных чисел.

База индукции. Проверим для $n=1$.
ЛЧ: $(2 \cdot 1 - 1)^2 = 1^2 = 1$.
ПЧ: $\frac{1(2 \cdot 1 - 1)(2 \cdot 1 + 1)}{3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{3} = 1$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$1^2 + 3^2 + \dots + (2k-1)^2 = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $1^2 + \dots + (2k-1)^2 + (2k+1)^2 = \frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:
$S_{k+1} = \left(1^2 + \dots + (2k-1)^2\right) + (2k+1)^2 = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k+1)^2$.
$S_{k+1} = (2k+1) \left( \frac{k(2k-1)}{3} + 2k+1 \right) = (2k+1) \frac{2k^2-k+6k+3}{3}$.
$S_{k+1} = (2k+1) \frac{2k^2+5k+3}{3}$.
Разложим $2k^2+5k+3 = (k+1)(2k+3)$.
$S_{k+1} = \frac{(2k+1)(k+1)(2k+3)}{3}$, что совпадает с правой частью.

Ответ: тождество доказано.

6) Докажем тождество $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим для $n=1$.
ЛЧ: $1 \cdot (1+1) = 2$.
ПЧ: $\frac{1(1+1)(1+2)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$1 \cdot 2 + \dots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $1 \cdot 2 + \dots + k(k+1) + (k+1)(k+2) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:
$S_{k+1} = (1 \cdot 2 + \dots + k(k+1)) + (k+1)(k+2) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2)$.
$S_{k+1} = (k+1)(k+2) \left( \frac{k}{3} + 1 \right) = (k+1)(k+2) \frac{k+3}{3} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.
Получили правую часть равенства для $n=k+1$.

Ответ: тождество доказано.

7) Докажем тождество $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n+1) = n(n+1)^2$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим для $n=1$.
ЛЧ: $1 \cdot (3 \cdot 1+1) = 4$.
ПЧ: $1 \cdot (1+1)^2 = 4$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$1 \cdot 4 + \dots + k(3k+1) = k(k+1)^2$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $1 \cdot 4 + \dots + k(3k+1) + (k+1)(3(k+1)+1) = (k+1)(k+2)^2$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:
$S_{k+1} = (1 \cdot 4 + \dots + k(3k+1)) + (k+1)(3k+4) = k(k+1)^2 + (k+1)(3k+4)$.
$S_{k+1} = (k+1) [k(k+1) + (3k+4)] = (k+1) [k^2+k+3k+4]$.
$S_{k+1} = (k+1) (k^2+4k+4) = (k+1)(k+2)^2$.
Получили правую часть равенства для $n=k+1$.

Ответ: тождество доказано.

8) Докажем тождество $1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим для $n=1$.
ЛЧ: $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.
ПЧ: $\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{4} = 6$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$1 \cdot 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1)(k+2) = \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $1 \cdot 2 \cdot 3 + \dots + (k+1)(k+2)(k+3) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:
$S_{k+1} = (1 \cdot 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1)(k+2)) + (k+1)(k+2)(k+3)$.
$S_{k+1} = \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3)$.
$S_{k+1} = (k+1)(k+2)(k+3) \left(\frac{k}{4} + 1\right) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}$.
Получили правую часть равенства для $n=k+1$.

Ответ: тождество доказано.

9) Докажем тождество $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{3n+1}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим для $n=1$.
ЛЧ: $\frac{1}{(3 \cdot 1-2)(3 \cdot 1+1)} = \frac{1}{1 \cdot 4} = \frac{1}{4}$.
ПЧ: $\frac{1}{3 \cdot 1+1} = \frac{1}{4}$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$\frac{1}{1 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{k}{3k+1}$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $\frac{1}{1 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{(3k+1)(3k+4)} = \frac{k+1}{3k+4}$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:
$S_{k+1} = \left(\frac{1}{1 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}\right) + \frac{1}{(3(k+1)-2)(3(k+1)+1)}$.
$S_{k+1} = \frac{k}{3k+1} + \frac{1}{(3k+1)(3k+4)} = \frac{k(3k+4)+1}{(3k+1)(3k+4)}$.
$S_{k+1} = \frac{3k^2+4k+1}{(3k+1)(3k+4)}$.
Разложим числитель $3k^2+4k+1 = (k+1)(3k+1)$.
$S_{k+1} = \frac{(k+1)(3k+1)}{(3k+1)(3k+4)} = \frac{k+1}{3k+4}$.
Получили правую часть равенства для $n=k+1$.

Ответ: тождество доказано.

10) Докажем тождество $\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = \frac{n}{4n+1}$ методом математической индукции.

База индукции. Проверим для $n=1$.
ЛЧ: $\frac{1}{(4 \cdot 1-3)(4 \cdot 1+1)} = \frac{1}{1 \cdot 5} = \frac{1}{5}$.
ПЧ: $\frac{1}{4 \cdot 1+1} = \frac{1}{5}$.
ЛЧ = ПЧ, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для $n=k$:
$\frac{1}{1 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{k}{4k+1}$.

Докажем, что оно верно для $n=k+1$: $\frac{1}{1 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(4k+1)(4k+5)} = \frac{k+1}{4k+5}$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$:
$S_{k+1} = \left(\frac{1}{1 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(4k-3)(4k+1)}\right) + \frac{1}{(4(k+1)-3)(4(k+1)+1)}$.
$S_{k+1} = \frac{k}{4k+1} + \frac{1}{(4k+1)(4k+5)} = \frac{k(4k+5)+1}{(4k+1)(4k+5)}$.
$S_{k+1} = \frac{4k^2+5k+1}{(4k+1)(4k+5)}$.
Разложим числитель $4k^2+5k+1 = (k+1)(4k+1)$.
$S_{k+1} = \frac{(k+1)(4k+1)}{(4k+1)(4k+5)} = \frac{k+1}{4k+5}$.
Получили правую часть равенства для $n=k+1$.

Ответ: тождество доказано.