Страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.22. Докажите утверждения для любого натурального n:

1) $n^3+5n : 6;$

2) $7^n+3n-1 : 9;$

3) $8^n+6 : 7;$

4) $10^n+18n-28 : 27;$

5) $9^n-8n-9 : 8, n>1;$

6) $n^4+6n^3+11n^2+6n : 24.$

1) Докажем, что выражение $n^3+5n$ делится на 6 для любого натурального $n$.
Преобразуем данное выражение: $n^3+5n = n^3-n+6n = n(n^2-1)+6n = n(n-1)(n+1)+6n$.
Выражение $(n-1)n(n+1)$ является произведением трех последовательных натуральных чисел. Среди трех последовательных чисел всегда есть как минимум одно четное число (делящееся на 2) и ровно одно число, кратное трем. Так как числа 2 и 3 взаимно просты, то произведение трех последовательных чисел всегда делится на $2 \cdot 3 = 6$.
Слагаемое $6n$ очевидно делится на 6 при любом натуральном $n$.
Сумма двух слагаемых, каждое из которых делится на 6, также делится на 6. Таким образом, исходное выражение $n^3+5n$ делится на 6.
Ответ: Утверждение доказано.

2) Докажем, что $7^n+3n-1$ делится на 9 для любого натурального $n$ методом математической индукции.
База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.
$7^1+3(1)-1 = 7+3-1 = 9$. Так как 9 делится на 9, база индукции верна.
Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k \ge 1$, то есть $7^k+3k-1$ делится на 9. Это означает, что существует целое число $m$, такое что $7^k+3k-1 = 9m$. Отсюда выразим $7^k = 9m-3k+1$.
Теперь докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть что выражение $7^{k+1}+3(k+1)-1$ делится на 9.
Рассмотрим это выражение:$7^{k+1}+3(k+1)-1 = 7 \cdot 7^k + 3k+3-1 = 7 \cdot 7^k + 3k+2$.
Подставим выражение для $7^k$ из предположения индукции:
$7(9m-3k+1) + 3k+2 = 63m - 21k + 7 + 3k + 2 = 63m - 18k + 9 = 9(7m-2k+1)$.
Так как $m$ и $k$ — целые числа, то $7m-2k+1$ также является целым числом. Следовательно, выражение $9(7m-2k+1)$ делится на 9. Шаг индукции доказан.
По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Утверждение доказано.

3) Докажем, что $8^n+6$ делится на 7 для любого натурального $n$.
Воспользуемся свойствами сравнений по модулю. Нам нужно доказать, что $8^n+6 \equiv 0 \pmod{7}$.
Найдем остаток от деления 8 на 7: $8 = 1 \cdot 7 + 1$, значит $8 \equiv 1 \pmod{7}$.
Возводя обе части сравнения в степень $n$, получаем: $8^n \equiv 1^n \pmod{7}$, то есть $8^n \equiv 1 \pmod{7}$.
Теперь прибавим 6 к обеим частям сравнения: $8^n+6 \equiv 1+6 \pmod{7}$, что дает $8^n+6 \equiv 7 \pmod{7}$.
Так как 7 делится на 7, то $7 \equiv 0 \pmod{7}$.
Следовательно, $8^n+6 \equiv 0 \pmod{7}$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

4) Докажем, что $10^n+18n-28$ делится на 27 для любого натурального $n$ методом математической индукции.
База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.
$10^1+18(1)-28 = 10+18-28 = 0$. Так как 0 делится на 27, база индукции верна.
Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k \ge 1$, то есть $10^k+18k-28$ делится на 27. Это означает, что $10^k+18k-28 = 27m$ для некоторого целого $m$. Отсюда $10^k = 27m-18k+28$.
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть $10^{k+1}+18(k+1)-28$ делится на 27.
Рассмотрим выражение для $n=k+1$:
$10^{k+1}+18(k+1)-28 = 10 \cdot 10^k + 18k+18-28 = 10 \cdot 10^k + 18k-10$.
Подставим выражение для $10^k$ из предположения индукции:
$10(27m-18k+28) + 18k-10 = 270m - 180k + 280 + 18k - 10 = 270m - 162k + 270$.
Вынесем общий множитель 27:
$27(10m) - 27(6k) + 27(10) = 27(10m - 6k + 10)$.
Так как $m$ и $k$ — целые числа, то $10m-6k+10$ тоже целое число. Следовательно, выражение $27(10m-6k+10)$ делится на 27. Шаг индукции доказан.
По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Утверждение доказано.

5) Докажем, что $9^n-8n-9$ делится на 8 для любого натурального $n>1$ методом математической индукции.
База индукции: Проверим утверждение для $n=2$ (так как $n>1$).
$9^2-8(2)-9 = 81-16-9 = 56$. Так как $56 = 7 \cdot 8$, то 56 делится на 8. База индукции верна.
Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k \ge 2$, то есть $9^k-8k-9$ делится на 8. Это означает, что $9^k-8k-9 = 8m$ для некоторого целого $m$. Отсюда $9^k = 8m+8k+9$.
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть $9^{k+1}-8(k+1)-9$ делится на 8.
Рассмотрим выражение для $n=k+1$:
$9^{k+1}-8(k+1)-9 = 9 \cdot 9^k - 8k-8-9 = 9 \cdot 9^k - 8k-17$.
Подставим выражение для $9^k$ из предположения индукции:
$9(8m+8k+9) - 8k-17 = 72m + 72k + 81 - 8k - 17 = 72m + 64k + 64$.
Вынесем общий множитель 8:
$8(9m + 8k + 8)$.
Так как $m$ и $k$ — целые числа, то $9m+8k+8$ тоже целое число. Следовательно, выражение $8(9m+8k+8)$ делится на 8. Шаг индукции доказан.
По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных $n>1$.
Ответ: Утверждение доказано.

6) Докажем, что выражение $n^4+6n^3+11n^2+6n$ делится на 24 для любого натурального $n$.
Разложим данный многочлен на множители. Сначала вынесем $n$ за скобки:
$n(n^3+6n^2+11n+6)$.
Найдем корни кубического многочлена $P(n) = n^3+6n^2+11n+6$. Заметим, что $P(-1) = (-1)^3+6(-1)^2+11(-1)+6 = -1+6-11+6 = 0$. Следовательно, $(n+1)$ является одним из множителей. Разделив $n^3+6n^2+11n+6$ на $(n+1)$, получим $n^2+5n+6$.
Таким образом, исходное выражение равно $n(n+1)(n^2+5n+6)$.
Разложим квадратный трехчлен $n^2+5n+6$ на множители. Его корнями являются $n=-2$ и $n=-3$. Значит, $n^2+5n+6 = (n+2)(n+3)$.
В итоге исходное выражение принимает вид: $n(n+1)(n+2)(n+3)$.
Это выражение является произведением четырех последовательных натуральных чисел. Докажем, что оно делится на 24.
$24 = 3 \cdot 8$.
1. Среди любых четырех последовательных чисел одно обязательно делится на 3 и одно обязательно делится на 4.2. Также среди четырех последовательных чисел есть два четных. Пусть это числа $2k$ и $2k+2$. Их произведение равно $2k(2k+2) = 4k(k+1)$. Так как $k$ и $k+1$ - два последовательных числа, одно из них четное, поэтому их произведение $k(k+1)$ делится на 2. Следовательно, произведение $4k(k+1)$ делится на $4 \cdot 2 = 8$.Таким образом, произведение четырех последовательных натуральных чисел всегда делится на 3 и на 8. Поскольку числа 3 и 8 взаимно просты, их произведение делится на $3 \cdot 8 = 24$.
Ответ: Утверждение доказано.

3.23. Найдите сумму для любого натурального n:

$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

Обозначим данную сумму как $S_n$.

$S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$

Общий член этой суммы имеет вид $a_k = \frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}$, где $k$ изменяется от $1$ до $n$.

Для нахождения суммы представим общий член ряда в виде разности двух дробей, используя метод разложения на простейшие дроби.

Ищем представление в виде: $\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{A}{2k - 1} + \frac{B}{2k + 1}$.

Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем тождество для числителей:

$1 = A(2k + 1) + B(2k - 1)$

Это равенство должно выполняться для любого значения $k$. Для нахождения коэффициентов $A$ и $B$ подставим в тождество удобные значения $k$.

Пусть $2k - 1 = 0$, то есть $k = 1/2$. Тогда $1 = A(2 \cdot \frac{1}{2} + 1) + B \cdot 0$, откуда $1 = 2A$ и $A = 1/2$.

Пусть $2k + 1 = 0$, то есть $k = -1/2$. Тогда $1 = A \cdot 0 + B(2 \cdot (-\frac{1}{2}) - 1)$, откуда $1 = -2B$ и $B = -1/2$.

Таким образом, общий член ряда можно представить в виде:

$\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{1/2}{2k - 1} - \frac{1/2}{2k + 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

Теперь вся сумма $S_n$ может быть записана как:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

Распишем члены этой суммы, чтобы увидеть закономерность:

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}\right) \right]$

Это так называемая телескопическая сумма. В ней все слагаемые, кроме первого и последнего, попарно уничтожаются. Например, $-\frac{1}{3}$ из первой скобки сокращается с $\frac{1}{3}$ из второй, $-\frac{1}{5}$ из второй — с $\frac{1}{5}$ из третьей, и так далее.

В результате в квадратных скобках остаются только первый и последний члены:

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2n + 1} \right)$

Упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю:

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2n + 1 - 1}{2n + 1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n + 1}$

Сократив на 2, получим окончательный результат:

$S_n = \frac{n}{2n + 1}$

Ответ: $\frac{n}{2n + 1}$

3.24. Докажите, что $n$ прямых линий, среди которых не имеются параллельные между собой прямые и никакие три из них не проходят через одну точку, делят плоскость на $\frac{n^2+n+2}{2}$ частей.

Доказательство проведем методом математической индукции по числу прямых n.

Обозначим через $L(n)$ количество частей, на которые n прямых в общем положении (никакие две не параллельны, никакие три не пересекаются в одной точке) делят плоскость. Требуется доказать, что для любого натурального числа n ≥ 1 верна формула:

$L(n) = \frac{n^2 + n + 2}{2}$

Сначала проверим базу индукции для n = 1. Одна прямая делит плоскость на 2 части. Формула дает: $L(1) = \frac{1^2 + 1 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Таким образом, база индукции верна.

Далее, сделаем индукционное предположение. Предположим, что для некоторого натурального числа k ≥ 1 утверждение верно, то есть k прямых в общем положении делят плоскость на $L(k) = \frac{k^2 + k + 2}{2}$ частей.

Теперь выполним индукционный шаг. Докажем, что утверждение верно и для k+1 прямой. Рассмотрим k прямых, которые по нашему предположению делят плоскость на $L(k)$ частей. Добавим к ним (k+1)-ю прямую. По условию задачи, эта новая прямая не параллельна ни одной из существующих k прямых, поэтому она пересекает каждую из них. Также, по условию, она не проходит через точки пересечения первых k прямых, так как никакие три прямые не проходят через одну точку. Следовательно, (k+1)-я прямая пересечет k предыдущих прямых в k различных точках. Эти k точек разделят (k+1)-ю прямую на k+1 интервал (два из которых — лучи, уходящие в бесконечность, и k-1 — отрезки). Каждый из этих k+1 интервалов проходит через одну из существующих $L(k)$ областей и делит ее на две части. Таким образом, добавление (k+1)-й прямой увеличивает общее число областей на k+1. Новое количество областей $L(k+1)$ будет равно:

$L(k+1) = L(k) + (k+1)$

Подставим выражение для $L(k)$ из индукционного предположения:

$L(k+1) = \left(\frac{k^2 + k + 2}{2}\right) + (k+1) = \frac{k^2 + k + 2 + 2(k+1)}{2} = \frac{k^2 + k + 2 + 2k + 2}{2} = \frac{k^2 + 3k + 4}{2}$

Проверим, соответствует ли полученный результат значению, которое дает исходная формула при n = k+1:

$\frac{(k+1)^2 + (k+1) + 2}{2} = \frac{(k^2 + 2k + 1) + (k+1) + 2}{2} = \frac{k^2 + 2k + 1 + k + 1 + 2}{2} = \frac{k^2 + 3k + 4}{2}$

Поскольку выражения совпали, индукционный переход доказан. Таким образом, по принципу математической индукции, формула верна для любого натурального числа n.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3.25. Последовательность ${a_n}$ задана рекуррентной формулой: $a_1=1, a_{n+1}=a_n+8n$. Докажите, что каждый член последовательности является точным квадратом целого числа.

Для доказательства того, что каждый член последовательности $\{a_n\}$, заданной рекуррентной формулой $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+8n$, является точным квадратом целого числа, можно найти явную формулу для $a_n$ и доказать её справедливость методом математической индукции.

Шаг 1: Поиск закономерности и формулировка гипотезы.
Вычислим первые несколько членов последовательности, чтобы найти закономерность:
$a_1 = 1 = 1^2$
$a_2 = a_1 + 8 \cdot 1 = 1 + 8 = 9 = 3^2$
$a_3 = a_2 + 8 \cdot 2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
$a_4 = a_3 + 8 \cdot 3 = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Заметим, что получаемые значения являются квадратами последовательных нечетных чисел: $1^2, 3^2, 5^2, 7^2, \dots$. Общая формула для n-го нечетного положительного числа — $2n-1$.

Таким образом, можно выдвинуть гипотезу, что формула для n-го члена последовательности имеет вид: $a_n = (2n-1)^2$.

Шаг 2: Доказательство гипотезы методом математической индукции.
База индукции (при n = 1):
По условию $a_1=1$. Согласно нашей гипотезе, $a_1 = (2 \cdot 1 - 1)^2 = 1^2 = 1$.
Утверждение верно для $n=1$.

Индукционное предположение (при n = k):
Предположим, что наша гипотеза верна для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $a_k = (2k-1)^2$.

Индукционный переход (докажем для n = k+1):
Нам нужно доказать, что $a_{k+1} = (2(k+1)-1)^2 = (2k+1)^2$.
Воспользуемся рекуррентной формулой из условия задачи: $a_{k+1} = a_k + 8k$.
Подставим в нее наше индукционное предположение $a_k = (2k-1)^2$:
$a_{k+1} = (2k-1)^2 + 8k$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a_{k+1} = (4k^2 - 4k + 1) + 8k = 4k^2 + 4k + 1$
Теперь свернем полученное выражение в полный квадрат, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:
$a_{k+1} = (2k)^2 + 2 \cdot (2k) \cdot 1 + 1^2 = (2k+1)^2$
Мы получили, что $a_{k+1} = (2k+1)^2$, что и требовалось доказать в индукционном переходе.

Заключение:
Поскольку база индукции верна и индукционный переход доказан, по принципу математической индукции формула $a_n = (2n-1)^2$ верна для всех натуральных $n$.
Так как $n$ — натуральное число, то $2n-1$ — целое число. Следовательно, каждый член последовательности $a_n$ является точным квадратом целого числа.

Ответ: Было доказано, что формула n-го члена последовательности имеет вид $a_n = (2n-1)^2$. Поскольку для любого натурального $n$ число $2n-1$ является целым, каждый член последовательности является точным квадратом целого числа.

3.26. Последовательность $\{b_n\}$ задана рекуррентной формулой $b_1=3, b_{n+1}=7b_n+3$. Покажите, что общий член этой последовательности определяется формулой $b_n = \frac{7^n - 1}{2}$.

Чтобы доказать, что общий член последовательности $\{b_n\}$, заданной рекуррентной формулой $b_1=3$ и $b_{n+1}=7b_n+3$, определяется формулой $b_n = \frac{7^n - 1}{2}$, воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции.

Проверим справедливость формулы для $n=1$.

По условию задачи, $b_1 = 3$.

Теперь подставим $n=1$ в предложенную формулу для общего члена:

$b_1 = \frac{7^1 - 1}{2} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Поскольку полученное значение совпадает с заданным ($3=3$), формула верна для $n=1$.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что формула верна для некоторого произвольного натурального числа $k \ge 1$. То есть, мы считаем, что истинно равенство:

$b_k = \frac{7^k - 1}{2}$.

Шаг 3: Индукционный переход.

Докажем, что если формула верна для $n=k$, то она верна и для следующего члена последовательности, то есть для $n=k+1$. Нам нужно показать, что $b_{k+1} = \frac{7^{k+1} - 1}{2}$.

Для этого воспользуемся рекуррентной формулой, данной в условии задачи:

$b_{k+1} = 7b_k + 3$.

Теперь заменим $b_k$ на выражение из нашего индукционного предположения:

$b_{k+1} = 7 \cdot \left( \frac{7^k - 1}{2} \right) + 3$.

Выполним алгебраические преобразования, чтобы упростить это выражение:

$b_{k+1} = \frac{7 \cdot (7^k - 1)}{2} + 3 = \frac{7 \cdot 7^k - 7 \cdot 1}{2} + 3 = \frac{7^{k+1} - 7}{2} + 3$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю 2:

$b_{k+1} = \frac{7^{k+1} - 7}{2} + \frac{6}{2} = \frac{7^{k+1} - 7 + 6}{2} = \frac{7^{k+1} - 1}{2}$.

Мы получили в точности то выражение, которое требовалось доказать для $b_{k+1}$.

Таким образом, мы доказали, что формула верна для $n=1$, и доказали, что из ее верности для $n=k$ следует ее верность для $n=k+1$. По принципу математической индукции, формула $b_n = \frac{7^n - 1}{2}$ верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Утверждение доказано методом математической индукции.