Номер 3.25, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.25. Последовательность ${a_n}$ задана рекуррентной формулой: $a_1=1, a_{n+1}=a_n+8n$. Докажите, что каждый член последовательности является точным квадратом целого числа.

Для доказательства того, что каждый член последовательности $\{a_n\}$, заданной рекуррентной формулой $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+8n$, является точным квадратом целого числа, можно найти явную формулу для $a_n$ и доказать её справедливость методом математической индукции.

Шаг 1: Поиск закономерности и формулировка гипотезы.
Вычислим первые несколько членов последовательности, чтобы найти закономерность:
$a_1 = 1 = 1^2$
$a_2 = a_1 + 8 \cdot 1 = 1 + 8 = 9 = 3^2$
$a_3 = a_2 + 8 \cdot 2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
$a_4 = a_3 + 8 \cdot 3 = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Заметим, что получаемые значения являются квадратами последовательных нечетных чисел: $1^2, 3^2, 5^2, 7^2, \dots$. Общая формула для n-го нечетного положительного числа — $2n-1$.

Таким образом, можно выдвинуть гипотезу, что формула для n-го члена последовательности имеет вид: $a_n = (2n-1)^2$.

Шаг 2: Доказательство гипотезы методом математической индукции.
База индукции (при n = 1):
По условию $a_1=1$. Согласно нашей гипотезе, $a_1 = (2 \cdot 1 - 1)^2 = 1^2 = 1$.
Утверждение верно для $n=1$.

Индукционное предположение (при n = k):
Предположим, что наша гипотеза верна для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $a_k = (2k-1)^2$.

Индукционный переход (докажем для n = k+1):
Нам нужно доказать, что $a_{k+1} = (2(k+1)-1)^2 = (2k+1)^2$.
Воспользуемся рекуррентной формулой из условия задачи: $a_{k+1} = a_k + 8k$.
Подставим в нее наше индукционное предположение $a_k = (2k-1)^2$:
$a_{k+1} = (2k-1)^2 + 8k$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a_{k+1} = (4k^2 - 4k + 1) + 8k = 4k^2 + 4k + 1$
Теперь свернем полученное выражение в полный квадрат, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:
$a_{k+1} = (2k)^2 + 2 \cdot (2k) \cdot 1 + 1^2 = (2k+1)^2$
Мы получили, что $a_{k+1} = (2k+1)^2$, что и требовалось доказать в индукционном переходе.

Заключение:
Поскольку база индукции верна и индукционный переход доказан, по принципу математической индукции формула $a_n = (2n-1)^2$ верна для всех натуральных $n$.
Так как $n$ — натуральное число, то $2n-1$ — целое число. Следовательно, каждый член последовательности $a_n$ является точным квадратом целого числа.

Ответ: Было доказано, что формула n-го члена последовательности имеет вид $a_n = (2n-1)^2$. Поскольку для любого натурального $n$ число $2n-1$ является целым, каждый член последовательности является точным квадратом целого числа.