Номер 3.30, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.30. Постройте график функции:

1) $y=7-3x-x^2$;

2) $y=\frac{2x+3}{x+1}$.

1) $y=7-3x-x^2$

Это квадратичная функция. Для построения графика перепишем ее в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$: $y = -x^2 - 3x + 7$. Графиком является парабола.

1. Определим направление ветвей. Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot (-1)} = -1.5$
$y_v = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) + 7 = -2.25 + 4.5 + 7 = 9.25$
Вершина находится в точке $(-1.5; 9.25)$. Ось симметрии — прямая $x = -1.5$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $y = -0^2 - 3 \cdot 0 + 7 = 7$. Точка $(0; 7)$.
С осью Ox (при $y=0$): $-x^2 - 3x + 7 = 0$. Решая квадратное уравнение, получаем $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(-1)(7)}}{2(-1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{37}}{-2}$.
$x_1 \approx 1.54$, $x_2 \approx -4.54$. Точки $(\approx 1.54; 0)$ и $(\approx -4.54; 0)$.

4. Найдем несколько дополнительных точек. Используя ось симметрии $x=-1.5$:
Точке $(0; 7)$ симметрична точка $(-3; 7)$.
Для $x=1$: $y = -1^2 - 3(1) + 7 = 3$. Точка $(1; 3)$. Симметричная ей точка $(-4; 3)$.
Для $x=2$: $y = -2^2 - 3(2) + 7 = -3$. Точка $(2; -3)$. Симметричная ей точка $(-5; -3)$.

5. Построим график, используя найденные точки.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-1.5; 9.25)$ и ветвями, направленными вниз.

2) $y=\frac{2x+3}{x+1}$

Это дробно-рациональная функция. Графиком является гипербола.

1. Найдем область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$. Прямая $x = -1$ является вертикальной асимптотой графика.

2. Преобразуем выражение, выделив целую часть, чтобы определить асимптоты и смещения.
$y = \frac{2x+3}{x+1} = \frac{2(x+1) - 2 + 3}{x+1} = \frac{2(x+1) + 1}{x+1} = \frac{2(x+1)}{x+1} + \frac{1}{x+1} = 2 + \frac{1}{x+1}$.
Итак, $y = \frac{1}{x+1} + 2$. График этой функции получается из графика $y = \frac{1}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево и на 2 единицы вверх.
Горизонтальная асимптота: $y = 2$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{2(0)+3}{0+1} = 3$. Точка $(0; 3)$.
С осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{2x+3}{x+1} \Rightarrow 2x+3=0 \Rightarrow x=-1.5$. Точка $(-1.5; 0)$.

4. Найдем несколько дополнительных точек.
При $x = 1$: $y = \frac{1}{1+1} + 2 = 2.5$. Точка $(1; 2.5)$.
При $x = -2$: $y = \frac{1}{-2+1} + 2 = 1$. Точка $(-2; 1)$.
При $x = -3$: $y = \frac{1}{-3+1} + 2 = 1.5$. Точка $(-3; 1.5)$.

5. Используя асимптоты $x=-1$, $y=2$ и найденные точки, построим график.

Ответ: График функции — гипербола с вертикальной асимптотой $x=-1$ и горизонтальной асимптотой $y=2$.