Номер 3.23, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.23. Найдите сумму для любого натурального n:

$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

Обозначим данную сумму как $S_n$.

$S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$

Общий член этой суммы имеет вид $a_k = \frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}$, где $k$ изменяется от $1$ до $n$.

Для нахождения суммы представим общий член ряда в виде разности двух дробей, используя метод разложения на простейшие дроби.

Ищем представление в виде: $\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{A}{2k - 1} + \frac{B}{2k + 1}$.

Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем тождество для числителей:

$1 = A(2k + 1) + B(2k - 1)$

Это равенство должно выполняться для любого значения $k$. Для нахождения коэффициентов $A$ и $B$ подставим в тождество удобные значения $k$.

Пусть $2k - 1 = 0$, то есть $k = 1/2$. Тогда $1 = A(2 \cdot \frac{1}{2} + 1) + B \cdot 0$, откуда $1 = 2A$ и $A = 1/2$.

Пусть $2k + 1 = 0$, то есть $k = -1/2$. Тогда $1 = A \cdot 0 + B(2 \cdot (-\frac{1}{2}) - 1)$, откуда $1 = -2B$ и $B = -1/2$.

Таким образом, общий член ряда можно представить в виде:

$\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{1/2}{2k - 1} - \frac{1/2}{2k + 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

Теперь вся сумма $S_n$ может быть записана как:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

Распишем члены этой суммы, чтобы увидеть закономерность:

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}\right) \right]$

Это так называемая телескопическая сумма. В ней все слагаемые, кроме первого и последнего, попарно уничтожаются. Например, $-\frac{1}{3}$ из первой скобки сокращается с $\frac{1}{3}$ из второй, $-\frac{1}{5}$ из второй — с $\frac{1}{5}$ из третьей, и так далее.

В результате в квадратных скобках остаются только первый и последний члены:

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2n + 1} \right)$

Упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю:

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2n + 1 - 1}{2n + 1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n + 1}$

Сократив на 2, получим окончательный результат:

$S_n = \frac{n}{2n + 1}$

Ответ: $\frac{n}{2n + 1}$