Номер 3.18, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.18. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x + y + 4 = 0, \\ x^2 - y^2 = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{3x - 2y}{3} - \frac{x - y}{2} = 5, \\ 7x + 3y = 38. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x + y + 4 = 0, \\ x^2 - y^2 = 2. \end{cases} $

Для решения данной системы используем метод подстановки.

Выразим y из первого (линейного) уравнения:
$3x + y + 4 = 0 \implies y = -3x - 4$.

Подставим полученное выражение для y во второе уравнение системы:
$x^2 - (-3x - 4)^2 = 2$.

Раскроем скобки. Обратите внимание, что $(-a-b)^2 = (a+b)^2$.
$x^2 - (3x + 4)^2 = 2$
$x^2 - (9x^2 + 24x + 16) = 2$
$x^2 - 9x^2 - 24x - 16 = 2$.

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:
$-8x^2 - 24x - 16 - 2 = 0$
$-8x^2 - 24x - 18 = 0$.

Разделим все уравнение на -2, чтобы упростить его:
$4x^2 + 12x + 9 = 0$.

Получившееся квадратное уравнение является полным квадратом двучлена:
$(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = 0$
$(2x + 3)^2 = 0$.

Из этого уравнения находим единственное значение x:
$2x + 3 = 0$
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2}$.

Теперь найдем соответствующее значение y, подставив найденное значение x в выражение $y = -3x - 4$:
$y = -3 \cdot (-\frac{3}{2}) - 4 = \frac{9}{2} - 4 = 4.5 - 4 = 0.5 = \frac{1}{2}$.

Таким образом, решение системы - это пара чисел $(-\frac{3}{2}; \frac{1}{2})$.

Ответ: $(-\frac{3}{2}; \frac{1}{2})$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{3x - 2y}{3} - \frac{x - y}{2} = 5, \\ 7x + 3y = 38. \end{cases} $

Сначала упростим первое уравнение системы. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{2(3x - 2y)}{6} - \frac{3(x - y)}{6} = 5$.

Теперь раскроем скобки в числителе и умножим обе части уравнения на 6:
$2(3x - 2y) - 3(x - y) = 30$
$6x - 4y - 3x + 3y = 30$.

Приведем подобные слагаемые:
$(6x - 3x) + (-4y + 3y) = 30$
$3x - y = 30$.

Теперь исходная система эквивалентна следующей, более простой системе: $ \begin{cases} 3x - y = 30, \\ 7x + 3y = 38. \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим y:
$y = 3x - 30$.

Подставим это выражение для y во второе уравнение:
$7x + 3(3x - 30) = 38$.

Решим полученное уравнение относительно x:
$7x + 9x - 90 = 38$
$16x = 38 + 90$
$16x = 128$
$x = \frac{128}{16} = 8$.

Теперь найдем y, подставив $x=8$ в выражение $y = 3x - 30$:
$y = 3 \cdot 8 - 30 = 24 - 30 = -6$.

Следовательно, решение системы - это пара чисел $(8; -6)$.

Ответ: $(8; -6)$.