Страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.17. Упростите выражения:

1) $\frac{ap + aq - bp - bq}{ap - aq - bp + bq};$

2) $\frac{mc - nc + md - nd}{mc + nc + md + nd}.$

1) Чтобы упростить выражение $ \frac{ap + aq - bp - bq}{ap - aq - bp + bq} $, разложим на множители числитель и знаменатель методом группировки.
В числителе сгруппируем слагаемые: $ (ap + aq) - (bp + bq) $. Вынесем общие множители из каждой скобки: $ a(p + q) - b(p + q) $. Теперь вынесем общий множитель $ (p + q) $: $ (a - b)(p + q) $.
В знаменателе сгруппируем слагаемые: $ (ap - aq) - (bp - bq) $. Вынесем общие множители из каждой скобки: $ a(p - q) - b(p - q) $. Теперь вынесем общий множитель $ (p - q) $: $ (a - b)(p - q) $.
Полученная дробь имеет вид: $ \frac{(a - b)(p + q)}{(a - b)(p - q)} $.
Сократим общий множитель $ (a - b) $ (при условии, что $ a \ne b $ и знаменатель не равен нулю).
В результате получаем: $ \frac{p + q}{p - q} $.
Ответ: $ \frac{p + q}{p - q} $

2) Упростим выражение $ \frac{mc - nc + md - nd}{mc + nc + md + nd} $. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе сгруппируем слагаемые: $ (mc - nc) + (md - nd) $. Вынесем общие множители: $ c(m - n) + d(m - n) $. Теперь вынесем общий множитель $ (m - n) $: $ (c + d)(m - n) $.
В знаменателе сгруппируем слагаемые: $ (mc + nc) + (md + nd) $. Вынесем общие множители: $ c(m + n) + d(m + n) $. Теперь вынесем общий множитель $ (m + n) $: $ (c + d)(m + n) $.
Подставим полученные выражения в дробь: $ \frac{(c + d)(m - n)}{(c + d)(m + n)} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (c + d) $ (при условии, что $ c \ne -d $ и знаменатель не равен нулю).
Получаем упрощенное выражение: $ \frac{m - n}{m + n} $.
Ответ: $ \frac{m - n}{m + n} $

3.18. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x + y + 4 = 0, \\ x^2 - y^2 = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{3x - 2y}{3} - \frac{x - y}{2} = 5, \\ 7x + 3y = 38. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x + y + 4 = 0, \\ x^2 - y^2 = 2. \end{cases} $

Для решения данной системы используем метод подстановки.

Выразим y из первого (линейного) уравнения:
$3x + y + 4 = 0 \implies y = -3x - 4$.

Подставим полученное выражение для y во второе уравнение системы:
$x^2 - (-3x - 4)^2 = 2$.

Раскроем скобки. Обратите внимание, что $(-a-b)^2 = (a+b)^2$.
$x^2 - (3x + 4)^2 = 2$
$x^2 - (9x^2 + 24x + 16) = 2$
$x^2 - 9x^2 - 24x - 16 = 2$.

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:
$-8x^2 - 24x - 16 - 2 = 0$
$-8x^2 - 24x - 18 = 0$.

Разделим все уравнение на -2, чтобы упростить его:
$4x^2 + 12x + 9 = 0$.

Получившееся квадратное уравнение является полным квадратом двучлена:
$(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = 0$
$(2x + 3)^2 = 0$.

Из этого уравнения находим единственное значение x:
$2x + 3 = 0$
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2}$.

Теперь найдем соответствующее значение y, подставив найденное значение x в выражение $y = -3x - 4$:
$y = -3 \cdot (-\frac{3}{2}) - 4 = \frac{9}{2} - 4 = 4.5 - 4 = 0.5 = \frac{1}{2}$.

Таким образом, решение системы - это пара чисел $(-\frac{3}{2}; \frac{1}{2})$.

Ответ: $(-\frac{3}{2}; \frac{1}{2})$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{3x - 2y}{3} - \frac{x - y}{2} = 5, \\ 7x + 3y = 38. \end{cases} $

Сначала упростим первое уравнение системы. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{2(3x - 2y)}{6} - \frac{3(x - y)}{6} = 5$.

Теперь раскроем скобки в числителе и умножим обе части уравнения на 6:
$2(3x - 2y) - 3(x - y) = 30$
$6x - 4y - 3x + 3y = 30$.

Приведем подобные слагаемые:
$(6x - 3x) + (-4y + 3y) = 30$
$3x - y = 30$.

Теперь исходная система эквивалентна следующей, более простой системе: $ \begin{cases} 3x - y = 30, \\ 7x + 3y = 38. \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим y:
$y = 3x - 30$.

Подставим это выражение для y во второе уравнение:
$7x + 3(3x - 30) = 38$.

Решим полученное уравнение относительно x:
$7x + 9x - 90 = 38$
$16x = 38 + 90$
$16x = 128$
$x = \frac{128}{16} = 8$.

Теперь найдем y, подставив $x=8$ в выражение $y = 3x - 30$:
$y = 3 \cdot 8 - 30 = 24 - 30 = -6$.

Следовательно, решение системы - это пара чисел $(8; -6)$.

Ответ: $(8; -6)$.

3.19. Укажите область определения функции:

1) $y = \frac{4}{\sqrt{18x^2 - 3x - 1}}$;

2) $y = \sqrt{(x+4)(7-x)}$.

1) Область определения функции $y = \frac{4}{\sqrt{18x^2 - 3x - 1}}$ находится из условия, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным (поскольку извлекается квадратный корень, выражение должно быть неотрицательным, а так как оно находится в знаменателе, оно не может быть равно нулю). Следовательно, необходимо решить неравенство:$18x^2 - 3x - 1 > 0$.Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $18x^2 - 3x - 1 = 0$.Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:$D = (-3)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-1) = 9 + 72 = 81$.Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$x_1 = \frac{3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 18} = \frac{3 - 9}{36} = \frac{-6}{36} = -\frac{1}{6}$.$x_2 = \frac{3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 18} = \frac{3 + 9}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.Так как коэффициент при $x^2$ (равный 18) положителен, ветви параболы $f(x) = 18x^2 - 3x - 1$ направлены вверх. Это означает, что квадратный трехчлен принимает положительные значения на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.Таким образом, область определения функции задается объединением интервалов $x \in (-\infty; -1/6) \cup (1/3; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -\frac{1}{6}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{(x+4)(7-x)}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Следовательно, необходимо решить неравенство:$(x+4)(7-x) \ge 0$.Это квадратное неравенство. Найдем корни выражения, приравняв его к нулю: $(x+4)(7-x) = 0$.Корнями являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 7$.Раскроем скобки в левой части неравенства, чтобы определить знак старшего коэффициента: $(x+4)(7-x) = 7x - x^2 + 28 - 4x = -x^2 + 3x + 28$.Коэффициент при $x^2$ равен -1, он отрицателен, значит, ветви параболы $f(x) = -x^2 + 3x + 28$ направлены вниз. Следовательно, неотрицательные значения функция принимает на отрезке между корнями.Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-4; 7]$.
Ответ: $[-4; 7]$.

3.20. Напишите функцию обратной пропорциональности, график которой проходит через точку $A(3; -6)$.

Общий вид функции обратной пропорциональности: $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$.

Поскольку график функции проходит через точку $A(3; -6)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим значения $x = 3$ и $y = -6$ в общую формулу, чтобы найти коэффициент $k$:

$-6 = \frac{k}{3}$

Выразим $k$, умножив обе части уравнения на 3:

$k = -6 \cdot 3$

$k = -18$

Следовательно, искомая функция имеет вид:

$y = \frac{-18}{x}$

Ответ: $y = -\frac{18}{x}$