Страница 62 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что называется числовой последовательностью?

2. Что такое общий член последовательности?

3. Какие способы задания последовательности вы знаете?

4. Какие последовательности называются возрастающими (убывающими)?

5. Какие последовательности называются неубывающими (невозрастающими)?

6. Какие последовательности называются монотонными?

1. Что называется числовой последовательностью? Числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$. Иными словами, это занумерованный ряд чисел, в котором каждому натуральному числу $n$ (номеру) ставится в соответствие некоторое число $a_n$ (член последовательности). Последовательность записывается как $(a_n)$ или в виде перечисления членов: $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$. Например, последовательность $2, 4, 6, 8, \ldots$ — это последовательность четных натуральных чисел. Ответ: Числовая последовательность — это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел.

2. Что такое общий член последовательности? Общий член последовательности (или n-й член) — это формула, которая задает любой член последовательности как функцию его порядкового номера $n$. Общий член обычно обозначается как $a_n$, $x_n$ и т.п. Зная формулу общего члена, можно найти любой элемент последовательности, просто подставив в нее соответствующий номер $n$. Например, для последовательности квадратов натуральных чисел $1, 4, 9, 16, \ldots$ общим членом является формула $a_n = n^2$. Ответ: Общий член последовательности — это формула, позволяющая определить любой член последовательности по его номеру.

3. Какие способы задания последовательности вы знаете? Существует три основных способа задания последовательности. Аналитический способ — задание последовательности с помощью формулы n-го члена, например, $a_n = 2n-1$. Рекуррентный способ — указание одного или нескольких начальных членов и формулы, выражающей любой член последовательности через предыдущие. Например, последовательность Фибоначчи задается как $a_1=1, a_2=1, a_{n+2} = a_n + a_{n+1}$. Словесный способ — правило, по которому составляются члены последовательности, описывается словами, например, "последовательность простых чисел в порядке возрастания". Ответ: Основные способы задания последовательности: аналитический (формулой n-го члена), рекуррентный (через предыдущие члены) и словесный (описанием).

4. Какие последовательности называются возрастающими(убывающими)? Последовательность $(a_n)$ называется возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, строго больше предыдущего. Математически это записывается как $a_{n+1} > a_n$ для всех натуральных $n$. Пример: $a_n = n$. Последовательность $(a_n)$ называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, строго меньше предыдущего, то есть $a_{n+1} < a_n$ для всех натуральных $n$. Пример: $a_n = 1/n$. Ответ: Возрастающей называется последовательность, у которой каждый следующий член больше предыдущего ($a_{n+1} > a_n$), а убывающей — та, у которой каждый следующий член меньше предыдущего ($a_{n+1} < a_n$).

5. Какие последовательности называются неубывающими(невозрастающими)? Последовательность $(a_n)$ называется неубывающей, если каждый ее член, начиная со второго, не меньше предыдущего. Математически это записывается как $a_{n+1} \ge a_n$ для всех натуральных $n$. Члены такой последовательности могут увеличиваться или оставаться равными. Последовательность $(a_n)$ называется невозрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, не больше предыдущего, то есть $a_{n+1} \le a_n$ для всех натуральных $n$. Члены такой последовательности могут уменьшаться или оставаться равными. Ответ: Неубывающей называется последовательность, у которой $a_{n+1} \ge a_n$, а невозрастающей — та, у которой $a_{n+1} \le a_n$.

6. Какие последовательности называются монотонными? Монотонными называются последовательности, которые являются либо неубывающими, либо невозрастающими. Это общее название для последовательностей, которые сохраняют направление изменения (или не изменяются). Возрастающие и убывающие последовательности являются частными случаями монотонных и называются строго монотонными. Например, последовательность $a_n = n^2$ монотонна (строго возрастает), а последовательность $a_n = (-1)^n$ не является монотонной. Ответ: Монотонными называются неубывающие и невозрастающие последовательности.

Практическая работа

Первый член $a_1$ последовательности ${a_n}$ равен $\frac{1}{5}$. Каждый следующий член последовательности получается прибавлением двойки как к числителю, так и к знаменателю предыдущего члена.

1) Какой будет последовательность ${a_n}$: возрастающей или убывающей?

2) Определите формулу общего члена последовательности.

3) Полагая, что первый член последовательности $a_1 = \frac{p}{q} > 0$ является правильной (неправильной) дробью и, прибавляя число $r > 0$ к ее числителю и знаменателю, ответьте на вопросы 1) и 2). Обоснуйте ответ.

1) Какой будет последовательность {$a_n$}: возрастающей или убывающей?

Для того чтобы определить, является ли последовательность {$a_n$} возрастающей или убывающей, найдем несколько ее первых членов.

Первый член по условию: $a_1 = \frac{1}{5}$.

Каждый следующий член получается прибавлением двойки к числителю и знаменателю предыдущего:

$a_2 = \frac{1+2}{5+2} = \frac{3}{7}$

$a_3 = \frac{3+2}{7+2} = \frac{5}{9}$

Сравним значения этих членов: $a_1 = 0.2$, $a_2 = \frac{3}{7} \approx 0.428$, $a_3 = \frac{5}{9} \approx 0.556$.

Так как $a_1 < a_2 < a_3$, можно предположить, что последовательность является возрастающей. Докажем это.

Пусть n-й член последовательности $a_n = \frac{x}{y}$. Тогда следующий член $a_{n+1} = \frac{x+2}{y+2}$.

Рассмотрим разность между последующим и предыдущим членами:

$a_{n+1} - a_n = \frac{x+2}{y+2} - \frac{x}{y} = \frac{y(x+2) - x(y+2)}{y(y+2)} = \frac{xy+2y-xy-2x}{y(y+2)} = \frac{2(y-x)}{y(y+2)}$

Знаменатели членов нашей последовательности образуют ряд $5, 7, 9, \dots$, все они положительны. Следовательно, знаменатель дроби $y(y+2)$ всегда будет положительным. Знак разности $a_{n+1} - a_n$ зависит от знака выражения $(y-x)$.

Для первого члена $a_1 = \frac{1}{5}$ разность между знаменателем и числителем равна $5 - 1 = 4$. При переходе к следующему члену к числителю и знаменателю прибавляется одно и то же число (2), поэтому разность между ними не меняется: $(y+2) - (x+2) = y-x$. Значит, для любого члена последовательности $a_n = \frac{x}{y}$ разность $y-x=4$ является положительной.

Таким образом, $a_{n+1} - a_n = \frac{2(y-x)}{y(y+2)} = \frac{2 \cdot 4}{y(y+2)} = \frac{8}{y(y+2)} > 0$.

Поскольку $a_{n+1} > a_n$ для любого натурального $n$, последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность {$a_n$} является возрастающей.

2) Определите формулу общего члена последовательности.

Чтобы найти формулу для $a_n$, рассмотрим последовательности числителей и знаменателей как отдельные арифметические прогрессии.

Последовательность числителей: $1, 3, 5, 7, \dots$ Это арифметическая прогрессия, у которой первый член $c_1 = 1$ и разность $d = 2$. Формула n-го члена: $c_n = c_1 + (n-1)d = 1 + (n-1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n-1$.

Последовательность знаменателей: $5, 7, 9, 11, \dots$ Это арифметическая прогрессия, у которой первый член $z_1 = 5$ и разность $d = 2$. Формула n-го члена: $z_n = z_1 + (n-1)d = 5 + (n-1) \cdot 2 = 5 + 2n - 2 = 2n+3$.

Формула общего члена последовательности {$a_n$} является отношением n-го члена последовательности числителей к n-му члену последовательности знаменателей:

$a_n = \frac{c_n}{z_n} = \frac{2n-1}{2n+3}$

Ответ: $a_n = \frac{2n-1}{2n+3}$.

3) Полагая, что первый член последовательности $a_1 = \frac{p}{q} > 0$ является правильной (неправильной) дробью и, прибавляя число $r > 0$ к ее числителю и знаменателю, ответьте на вопросы 1) и 2). Обоснуйте ответ.

Рассмотрим обобщенный случай, где $a_1 = \frac{p}{q}$ ($p>0, q>0$) и $a_{n+1}$ получается из $a_n$ прибавлением числа $r>0$ к числителю и знаменателю.

Решение для вопроса 1 (монотонность):

Пусть $a_n = \frac{x}{y}$. Тогда $a_{n+1} = \frac{x+r}{y+r}$. Рассмотрим разность:

$a_{n+1} - a_n = \frac{x+r}{y+r} - \frac{x}{y} = \frac{y(x+r) - x(y+r)}{y(y+r)} = \frac{r(y-x)}{y(y+r)}$

Поскольку $p, q, r > 0$, все члены последовательности положительны, и знаменатель $y(y+r) > 0$. Знак разности определяется знаком выражения $y-x$. Разность между знаменателем и числителем остается постоянной для всех членов последовательности и равна $q-p$.

Следовательно, $a_{n+1} - a_n = \frac{r(q-p)}{y(y+r)}$.

Проанализируем знак в зависимости от типа дроби $a_1 = \frac{p}{q}$:

1. Если $a_1 = \frac{p}{q}$ — правильная дробь, то $p < q$, откуда $q-p>0$. В этом случае $a_{n+1} - a_n > 0$, и последовательность возрастает.

2. Если $a_1 = \frac{p}{q}$ — неправильная дробь, то $p \ge q$, откуда $q-p \le 0$.
• Если $p>q$, то $q-p<0$, следовательно $a_{n+1} - a_n < 0$, и последовательность убывает.
• Если $p=q$, то $q-p=0$, следовательно $a_{n+1} - a_n = 0$. Последовательность постоянна (все ее члены равны 1), что является частным случаем невозрастающей (убывающей) последовательности.

Решение для вопроса 2 (формула общего члена):

Числители и знаменатели членов последовательности {$a_n$} образуют арифметические прогрессии с разностью $r$.

Числитель n-го члена: $p_n = p + (n-1)r$.

Знаменатель n-го члена: $q_n = q + (n-1)r$.

Следовательно, формула общего члена имеет вид: $a_n = \frac{p + (n-1)r}{q + (n-1)r}$.

Ответ:
1) Если дробь $a_1 = \frac{p}{q}$ правильная ($p2) Формула общего члена: $a_n = \frac{p+(n-1)r}{q+(n-1)r}$.