Вопросы, страница 62 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что называется числовой последовательностью?

2. Что такое общий член последовательности?

3. Какие способы задания последовательности вы знаете?

4. Какие последовательности называются возрастающими (убывающими)?

5. Какие последовательности называются неубывающими (невозрастающими)?

6. Какие последовательности называются монотонными?

1. Что называется числовой последовательностью? Числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$. Иными словами, это занумерованный ряд чисел, в котором каждому натуральному числу $n$ (номеру) ставится в соответствие некоторое число $a_n$ (член последовательности). Последовательность записывается как $(a_n)$ или в виде перечисления членов: $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$. Например, последовательность $2, 4, 6, 8, \ldots$ — это последовательность четных натуральных чисел. Ответ: Числовая последовательность — это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел.

2. Что такое общий член последовательности? Общий член последовательности (или n-й член) — это формула, которая задает любой член последовательности как функцию его порядкового номера $n$. Общий член обычно обозначается как $a_n$, $x_n$ и т.п. Зная формулу общего члена, можно найти любой элемент последовательности, просто подставив в нее соответствующий номер $n$. Например, для последовательности квадратов натуральных чисел $1, 4, 9, 16, \ldots$ общим членом является формула $a_n = n^2$. Ответ: Общий член последовательности — это формула, позволяющая определить любой член последовательности по его номеру.

3. Какие способы задания последовательности вы знаете? Существует три основных способа задания последовательности. Аналитический способ — задание последовательности с помощью формулы n-го члена, например, $a_n = 2n-1$. Рекуррентный способ — указание одного или нескольких начальных членов и формулы, выражающей любой член последовательности через предыдущие. Например, последовательность Фибоначчи задается как $a_1=1, a_2=1, a_{n+2} = a_n + a_{n+1}$. Словесный способ — правило, по которому составляются члены последовательности, описывается словами, например, "последовательность простых чисел в порядке возрастания". Ответ: Основные способы задания последовательности: аналитический (формулой n-го члена), рекуррентный (через предыдущие члены) и словесный (описанием).

4. Какие последовательности называются возрастающими(убывающими)? Последовательность $(a_n)$ называется возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, строго больше предыдущего. Математически это записывается как $a_{n+1} > a_n$ для всех натуральных $n$. Пример: $a_n = n$. Последовательность $(a_n)$ называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, строго меньше предыдущего, то есть $a_{n+1} < a_n$ для всех натуральных $n$. Пример: $a_n = 1/n$. Ответ: Возрастающей называется последовательность, у которой каждый следующий член больше предыдущего ($a_{n+1} > a_n$), а убывающей — та, у которой каждый следующий член меньше предыдущего ($a_{n+1} < a_n$).

5. Какие последовательности называются неубывающими(невозрастающими)? Последовательность $(a_n)$ называется неубывающей, если каждый ее член, начиная со второго, не меньше предыдущего. Математически это записывается как $a_{n+1} \ge a_n$ для всех натуральных $n$. Члены такой последовательности могут увеличиваться или оставаться равными. Последовательность $(a_n)$ называется невозрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, не больше предыдущего, то есть $a_{n+1} \le a_n$ для всех натуральных $n$. Члены такой последовательности могут уменьшаться или оставаться равными. Ответ: Неубывающей называется последовательность, у которой $a_{n+1} \ge a_n$, а невозрастающей — та, у которой $a_{n+1} \le a_n$.

6. Какие последовательности называются монотонными? Монотонными называются последовательности, которые являются либо неубывающими, либо невозрастающими. Это общее название для последовательностей, которые сохраняют направление изменения (или не изменяются). Возрастающие и убывающие последовательности являются частными случаями монотонных и называются строго монотонными. Например, последовательность $a_n = n^2$ монотонна (строго возрастает), а последовательность $a_n = (-1)^n$ не является монотонной. Ответ: Монотонными называются неубывающие и невозрастающие последовательности.