Номер 2.45, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.45. Решите уравнения:

1) $\frac{C_x^3 + C_x^4}{C_{x+1}^2} = 11;$

2) $\frac{C_{x+1}^3 - C_x^2}{C_x^2} = 11.$

1) Решим уравнение $\frac{C_x^3 + C_x^4}{C_{x+1}^2} = 11$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Число сочетаний $C_n^k$ определено для целых неотрицательных $n$ и $k$, при этом $n \ge k$.

Из $C_x^3$ следует, что $x \ge 3$.

Из $C_x^4$ следует, что $x \ge 4$.

Из $C_{x+1}^2$ следует, что $x+1 \ge 2$, то есть $x \ge 1$.

Объединяя все условия, получаем, что $x$ должен быть целым числом и $x \ge 4$.

Воспользуемся свойством сложения сочетаний (тождество Паскаля): $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$.

Применив это свойство к числителю, получим: $C_x^3 + C_x^4 = C_{x+1}^4$.

Теперь уравнение принимает вид: $\frac{C_{x+1}^4}{C_{x+1}^2} = 11$.

Распишем сочетания по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{x+1}^4 = \frac{(x+1)!}{4!(x+1-4)!} = \frac{(x+1)!}{4!(x-3)!}$

$C_{x+1}^2 = \frac{(x+1)!}{2!(x+1-2)!} = \frac{(x+1)!}{2!(x-1)!}$

Подставим эти выражения в уравнение:

$\frac{\frac{(x+1)!}{4!(x-3)!}}{\frac{(x+1)!}{2!(x-1)!}} = 11$

$\frac{(x+1)!}{4!(x-3)!} \cdot \frac{2!(x-1)!}{(x+1)!} = 11$

Сократим $(x+1)!$:

$\frac{2!(x-1)!}{4!(x-3)!} = 11$

Зная, что $4! = 24$, $2! = 2$ и $(x-1)! = (x-1)(x-2)(x-3)!$, получаем:

$\frac{2 \cdot (x-1)(x-2)(x-3)!}{24 \cdot (x-3)!} = 11$

Сократим $(x-3)!$ и числовые коэффициенты:

$\frac{(x-1)(x-2)}{12} = 11$

$(x-1)(x-2) = 132$

$x^2 - 3x + 2 = 132$

$x^2 - 3x - 130 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-130) = 9 + 520 = 529 = 23^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{3 + 23}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$x_2 = \frac{3 - 23}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 4$). Корень $x_1 = 13$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = -10$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $x=13$.

2) Решим уравнение $\frac{C_{x+1}^3 - C_x^2}{C_x^2} = 11$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ).

Из $C_{x+1}^3$ следует, что $x+1 \ge 3$, то есть $x \ge 2$.

Из $C_x^2$ следует, что $x \ge 2$.

Знаменатель $C_x^2$ не должен быть равен нулю. $C_x^2 = \frac{x(x-1)}{2} \ne 0$ при $x \ge 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x$ — целое число и $x \ge 2$.

Преобразуем уравнение, разделив числитель на знаменатель почленно:

$\frac{C_{x+1}^3}{C_x^2} - \frac{C_x^2}{C_x^2} = 11$

$\frac{C_{x+1}^3}{C_x^2} - 1 = 11$

$\frac{C_{x+1}^3}{C_x^2} = 12$

Распишем сочетания по формуле:

$C_{x+1}^3 = \frac{(x+1)!}{3!(x+1-3)!} = \frac{(x+1)!}{3!(x-2)!}$

$C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!}$

Подставим в уравнение:

$\frac{\frac{(x+1)!}{3!(x-2)!}}{\frac{x!}{2!(x-2)!}} = 12$

$\frac{(x+1)!}{3!(x-2)!} \cdot \frac{2!(x-2)!}{x!} = 12$

Сократим $(x-2)!$:

$\frac{(x+1)! \cdot 2!}{3! \cdot x!} = 12$

Используем то, что $(x+1)! = (x+1)x!$, $2! = 2$, $3! = 6$:

$\frac{(x+1)x! \cdot 2}{6 \cdot x!} = 12$

Сократим $x!$:

$\frac{2(x+1)}{6} = 12$

$\frac{x+1}{3} = 12$

$x+1 = 36$

$x = 35$

Проверим корень по ОДЗ ($x \ge 2$). Корень $x = 35$ удовлетворяет условию.

Ответ: $x=35$.