Номер 2.43, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.43. Докажите тождества:

1) $C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \dots + \frac{1}{n+1}C_n^n = \frac{2^{n+1}-1}{n+1};$

2) $C_n^1 + 2C_n^2 + \dots + nC_n^n = n2^{n-1};$

3) $C_n^1 - 2C_n^2 + \dots + (-1)^{n-1}nC_n^n = 0.$

1) Для доказательства данного тождества воспользуемся биномом Ньютона и интегрированием. Формула бинома Ньютона имеет вид: $(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k = C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + \dots + C_n^n x^n$.
Проинтегрируем обе части этого равенства по $x$ в пределах от $0$ до $1$:
$\int_0^1 (1+x)^n dx = \int_0^1 (C_n^0 + C_n^1 x + \dots + C_n^n x^n) dx$.
Вычислим интеграл в левой части:
$\int_0^1 (1+x)^n dx = \left[ \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{(1+1)^{n+1}}{n+1} - \frac{(1+0)^{n+1}}{n+1} = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.
Теперь вычислим интеграл в правой части:
$\int_0^1 \left(\sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k\right) dx = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \int_0^1 x^k dx = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \left[ \frac{x^{k+1}}{k+1} \right]_0^1 = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \frac{1}{k+1} = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \dots + \frac{1}{n+1}C_n^n$.
Приравнивая результаты вычисления левой и правой частей, получаем требуемое тождество.
Ответ: $C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \dots + \frac{1}{n+1}C_n^n = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.

2) Для доказательства этого тождества воспользуемся биномом Ньютона и дифференцированием. Рассмотрим формулу бинома Ньютона: $(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k = C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + \dots + C_n^n x^n$.
Продифференцируем обе части этого равенства по $x$:
$\frac{d}{dx}(1+x)^n = \frac{d}{dx}\left(\sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k\right)$.
Производная левой части: $\frac{d}{dx}(1+x)^n = n(1+x)^{n-1}$.
Производная правой части: $\frac{d}{dx}\left(\sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k\right) = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \frac{d}{dx}(x^k) = \sum_{k=1}^{n} k C_n^k x^{k-1} = C_n^1 + 2C_n^2 x + \dots + nC_n^n x^{n-1}$.
Таким образом, мы получили тождество: $n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k C_n^k x^{k-1}$.
Подставим в это тождество значение $x=1$:
$n(1+1)^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k C_n^k (1)^{k-1}$.
$n2^{n-1} = C_n^1 + 2C_n^2 + \dots + nC_n^n$.
Тождество доказано.
Ответ: $C_n^1 + 2C_n^2 + \dots + nC_n^n = n2^{n-1}$.

3) Для доказательства этого тождества воспользуемся результатом, полученным при решении предыдущего пункта. Мы установили тождество: $n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k C_n^k x^{k-1}$.
Это равенство представляет собой $n(1+x)^{n-1} = C_n^1 + 2C_n^2 x + 3C_n^3 x^2 + \dots + nC_n^n x^{n-1}$.
Подставим в это тождество значение $x=-1$.
Левая часть при $x=-1$ равна: $n(1+(-1))^{n-1} = n \cdot 0^{n-1}$.
Заметим, что при $n=1$ левая часть равна $1 \cdot 0^0 = 1$ (так как $0^0$ в контексте биномиальных рядов обычно принимается за 1), а правая часть $C_1^1 = 1$. Однако в условии задачи правая часть равна 0. Это означает, что тождество неверно для $n=1$. Будем доказывать его для $n \ge 2$.
При $n \ge 2$, имеем $n-1 \ge 1$, поэтому $0^{n-1} = 0$. Таким образом, левая часть равна $n \cdot 0 = 0$.
Правая часть при $x=-1$ равна:
$\sum_{k=1}^{n} k C_n^k (-1)^{k-1} = C_n^1 (-1)^0 + 2C_n^2 (-1)^1 + 3C_n^3 (-1)^2 + \dots + nC_n^n (-1)^{n-1} = C_n^1 - 2C_n^2 + 3C_n^3 - \dots + (-1)^{n-1}nC_n^n$.
Приравнивая левую и правую части при $x=-1$ для $n \ge 2$, получаем:
$0 = C_n^1 - 2C_n^2 + \dots + (-1)^{n-1}nC_n^n$.
Что и требовалось доказать (при условии $n \ge 2$).
Ответ: $C_n^1 - 2C_n^2 + \dots + (-1)^{n-1}nC_n^n = 0$ (для $n \ge 2$).