Номер 2.48, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.48. Найдите область определения функции:

1)

$y = \sqrt{x} + \sqrt{x-4};$

2)

$y = \sqrt{x(x-4)}.$

1) Область определения функции $y = \sqrt{x} + \sqrt{x-4}$ находится из условия, что выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x - 4 \ge 0 \end{cases} $

Решим второе неравенство системы:

$x \ge 4$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \ge 0$ и $x \ge 4$. Общим решением является $x \ge 4$, так как если число больше или равно 4, оно автоматически больше или равно 0.

Таким образом, область определения функции — это промежуток $[4; +\infty)$.

Ответ: $[4; +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{x(x-4)}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x(x-4) \ge 0$

Для решения этого квадратичного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем нули выражения $x(x-4)$, решив уравнение $x(x-4) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0]$, $[0; 4]$ и $[4; +\infty)$. Определим знак выражения $x(x-4)$ на каждом из этих интервалов:

- для $x < 0$ (например, $x=-1$): $(-1)(-1-4) = 5 > 0$;

- для $0 < x < 4$ (например, $x=1$): $1(1-4) = -3 < 0$;

- для $x > 4$ (например, $x=5$): $5(5-4) = 5 > 0$.

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение $x(x-4)$ больше или равно нулю. Это происходит на интервалах $(-\infty; 0]$ и $[4; +\infty)$, включая концы интервалов, так как неравенство нестрогое.

Следовательно, область определения функции — это объединение этих промежутков.

Ответ: $(-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.