Страница 56 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.44. Найдите сумму:

1) $C_n^0 + 2C_n^1 + 2^2C_n^2 + \dots + 2^nC_n^n;$

2) $C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots;$

3) $C_n^0 + C_n^2 + C_n^5 + \dots.$

1) Для нахождения суммы $S = C_n^0 + 2C_n^1 + 2^2C_n^2 + \dots + 2^nC_n^n$ воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$. Данную сумму можно записать в виде $\sum_{k=0}^{n} C_n^k 2^k$. Сравнивая это выражение с общей формулой бинома, можно заметить, что оно соответствует разложению при $a=1$ и $b=2$. Подставим эти значения в формулу бинома: $(1+2)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k 1^{n-k} 2^k = \sum_{k=0}^{n} C_n^k 2^k$. Таким образом, искомая сумма равна $(1+2)^n$.
Ответ: $3^n$.

2) Чтобы найти сумму $S_{чет} = C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots$, мы снова используем формулу бинома Ньютона для выражения $(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k$. Рассмотрим два частных случая.
При $x=1$, получаем равенство: $2^n = (1+1)^n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + \dots + C_n^n$. (1)
При $x=-1$ (и $n \ge 1$), получаем: $0 = (1-1)^n = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + \dots + (-1)^n C_n^n$. (2)
Сложив равенства (1) и (2), мы получим: $2^n + 0 = (C_n^0 + C_n^0) + (C_n^1 - C_n^1) + (C_n^2 + C_n^2) + \dots$. Члены с нечетными нижними индексами сокращаются, а с четными удваиваются: $2^n = 2C_n^0 + 2C_n^2 + 2C_n^4 + \dots = 2(C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots)$. Разделив обе части на 2, получим искомую сумму: $S_{чет} = 2^{n-1}$. Эта формула верна для $n \ge 1$. Если $n=0$, то сумма состоит из одного члена $C_0^0=1$.
Ответ: $2^{n-1}$ при $n \ge 1$, и $1$ при $n=0$.

3) Выражение $C_n^0 + C_n^2 + C_n^5 + \dots$ с большой вероятностью содержит опечатку, так как последовательность нижних индексов $0, 2, 5, \dots$ не является арифметической прогрессией и не следует другому очевидному правилу, что делает нахождение суммы в общем виде крайне затруднительным. Логичным продолжением предыдущих заданий было бы нахождение суммы коэффициентов с индексами, кратными 3, то есть $S = C_n^0 + C_n^3 + C_n^6 + \dots$. Решим эту задачу.
Для решения воспользуемся методом, основанным на корнях n-ой степени из единицы. В данном случае нам понадобятся кубические корни из единицы: $1, \omega, \omega^2$, где $\omega = e^{i2\pi/3}$. Ключевое свойство этих корней: сумма $1+\omega^k+\omega^{2k}$ равна $3$, если $k$ кратно 3, и $0$ в противном случае. Рассмотрим три биномиальных разложения:
$2^n = (1+1)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k$
$(1+\omega)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k \omega^k$
$(1+\omega^2)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k \omega^{2k}$
Сложим эти три равенства: $2^n + (1+\omega)^n + (1+\omega^2)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k(1+\omega^k+\omega^{2k})$. Благодаря свойству корней из единицы, в правой части останутся только члены, где $k$ кратно 3, и их коэффициенты будут равны 3. Таким образом, $2^n + (1+\omega)^n + (1+\omega^2)^n = 3(C_n^0 + C_n^3 + C_n^6 + \dots) = 3S$.
Теперь упростим левую часть. Используя то, что $1+\omega = e^{i\pi/3}$ и $1+\omega^2 = e^{-i\pi/3}$, получаем: $(1+\omega)^n = (e^{i\pi/3})^n = \cos(n\pi/3) + i\sin(n\pi/3)$.
$(1+\omega^2)^n = (e^{-i\pi/3})^n = \cos(n\pi/3) - i\sin(n\pi/3)$.
Их сумма равна $(1+\omega)^n + (1+\omega^2)^n = 2\cos(n\pi/3)$.
Подставив это обратно, получаем $3S = 2^n + 2\cos(n\pi/3)$.
Ответ: Предполагая, что в задаче имелась в виду сумма $C_n^0 + C_n^3 + C_n^6 + \dots$, она равна $\frac{1}{3}(2^n + 2\cos(\frac{n\pi}{3}))$.

2.45. Решите уравнения:

1) $\frac{C_x^3 + C_x^4}{C_{x+1}^2} = 11;$

2) $\frac{C_{x+1}^3 - C_x^2}{C_x^2} = 11.$

1) Решим уравнение $\frac{C_x^3 + C_x^4}{C_{x+1}^2} = 11$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Число сочетаний $C_n^k$ определено для целых неотрицательных $n$ и $k$, при этом $n \ge k$.

Из $C_x^3$ следует, что $x \ge 3$.

Из $C_x^4$ следует, что $x \ge 4$.

Из $C_{x+1}^2$ следует, что $x+1 \ge 2$, то есть $x \ge 1$.

Объединяя все условия, получаем, что $x$ должен быть целым числом и $x \ge 4$.

Воспользуемся свойством сложения сочетаний (тождество Паскаля): $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$.

Применив это свойство к числителю, получим: $C_x^3 + C_x^4 = C_{x+1}^4$.

Теперь уравнение принимает вид: $\frac{C_{x+1}^4}{C_{x+1}^2} = 11$.

Распишем сочетания по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{x+1}^4 = \frac{(x+1)!}{4!(x+1-4)!} = \frac{(x+1)!}{4!(x-3)!}$

$C_{x+1}^2 = \frac{(x+1)!}{2!(x+1-2)!} = \frac{(x+1)!}{2!(x-1)!}$

Подставим эти выражения в уравнение:

$\frac{\frac{(x+1)!}{4!(x-3)!}}{\frac{(x+1)!}{2!(x-1)!}} = 11$

$\frac{(x+1)!}{4!(x-3)!} \cdot \frac{2!(x-1)!}{(x+1)!} = 11$

Сократим $(x+1)!$:

$\frac{2!(x-1)!}{4!(x-3)!} = 11$

Зная, что $4! = 24$, $2! = 2$ и $(x-1)! = (x-1)(x-2)(x-3)!$, получаем:

$\frac{2 \cdot (x-1)(x-2)(x-3)!}{24 \cdot (x-3)!} = 11$

Сократим $(x-3)!$ и числовые коэффициенты:

$\frac{(x-1)(x-2)}{12} = 11$

$(x-1)(x-2) = 132$

$x^2 - 3x + 2 = 132$

$x^2 - 3x - 130 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-130) = 9 + 520 = 529 = 23^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{3 + 23}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$x_2 = \frac{3 - 23}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 4$). Корень $x_1 = 13$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = -10$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $x=13$.

2) Решим уравнение $\frac{C_{x+1}^3 - C_x^2}{C_x^2} = 11$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ).

Из $C_{x+1}^3$ следует, что $x+1 \ge 3$, то есть $x \ge 2$.

Из $C_x^2$ следует, что $x \ge 2$.

Знаменатель $C_x^2$ не должен быть равен нулю. $C_x^2 = \frac{x(x-1)}{2} \ne 0$ при $x \ge 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x$ — целое число и $x \ge 2$.

Преобразуем уравнение, разделив числитель на знаменатель почленно:

$\frac{C_{x+1}^3}{C_x^2} - \frac{C_x^2}{C_x^2} = 11$

$\frac{C_{x+1}^3}{C_x^2} - 1 = 11$

$\frac{C_{x+1}^3}{C_x^2} = 12$

Распишем сочетания по формуле:

$C_{x+1}^3 = \frac{(x+1)!}{3!(x+1-3)!} = \frac{(x+1)!}{3!(x-2)!}$

$C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!}$

Подставим в уравнение:

$\frac{\frac{(x+1)!}{3!(x-2)!}}{\frac{x!}{2!(x-2)!}} = 12$

$\frac{(x+1)!}{3!(x-2)!} \cdot \frac{2!(x-2)!}{x!} = 12$

Сократим $(x-2)!$:

$\frac{(x+1)! \cdot 2!}{3! \cdot x!} = 12$

Используем то, что $(x+1)! = (x+1)x!$, $2! = 2$, $3! = 6$:

$\frac{(x+1)x! \cdot 2}{6 \cdot x!} = 12$

Сократим $x!$:

$\frac{2(x+1)}{6} = 12$

$\frac{x+1}{3} = 12$

$x+1 = 36$

$x = 35$

Проверим корень по ОДЗ ($x \ge 2$). Корень $x = 35$ удовлетворяет условию.

Ответ: $x=35$.

2.46. Докажите тождество $(C_n^0)^2 + (C_n^1)^2 + \dots + (C_n^n)^2 = C_{2n}^n.$

Для доказательства данного тождества, известного как одно из следствий тождества Вандермонда, можно использовать два подхода: комбинаторный и алгебраический.

Способ 1: Комбинаторный

Рассмотрим задачу о формировании комитета из $n$ человек, выбираемых из группы, состоящей из $2n$ человек. Мы можем посчитать количество способов сделать это двумя разными путями.

С одной стороны, общее количество способов выбрать $n$ человек из $2n$ по определению равно биномиальному коэффициенту $C_{2n}^n$. Это правая часть нашего тождества.

С другой стороны, представим, что группа из $2n$ человек состоит из двух подгрупп: $n$ мужчин и $n$ женщин. Комитет из $n$ человек можно сформировать, выбрав $k$ женщин из $n$ и, соответственно, $n-k$ мужчин из $n$. Здесь $k$ — это количество женщин в комитете, которое может меняться от $0$ до $n$.

Количество способов выбрать $k$ женщин из $n$ равно $C_n^k$.

Количество способов выбрать $n-k$ мужчин из $n$ равно $C_n^{n-k}$.

Для каждого конкретного $k$ количество способов сформировать комитет с $k$ женщинами и $n-k$ мужчинами равно произведению $C_n^k \cdot C_n^{n-k}$.

Чтобы найти общее число способов сформировать комитет, нужно просуммировать эти произведения по всем возможным значениям $k$ от $0$ до $n$:$$ \text{Общее число способов} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot C_n^{n-k} $$

Эта сумма имеет вид: $C_n^0 C_n^n + C_n^1 C_n^{n-1} + \dots + C_n^n C_n^0$.

Используем свойство симметрии биномиальных коэффициентов: $C_n^j = C_n^{n-j}$. Применяя это свойство, мы видим, что $C_n^{n-k} = C_n^k$. Таким образом, каждый член суммы $C_n^k \cdot C_n^{n-k}$ можно переписать как $C_n^k \cdot C_n^k = (C_n^k)^2$.

Тогда вся сумма преобразуется в:$$ \sum_{k=0}^{n} (C_n^k)^2 = (C_n^0)^2 + (C_n^1)^2 + \dots + (C_n^n)^2 $$

Это выражение является левой частью доказываемого тождества. Поскольку мы считали одно и то же (общее количество способов сформировать комитет) двумя разными методами, полученные выражения должны быть равны. Следовательно:$$ (C_n^0)^2 + (C_n^1)^2 + \dots + (C_n^n)^2 = C_{2n}^n $$Что и требовалось доказать.

Способ 2: Алгебраический

Этот метод основан на использовании производящих функций, в данном случае — на разложении бинома Ньютона.

Рассмотрим биномиальное разложение:$$ (1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k = C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + \dots + C_n^n x^n $$

Воспользуемся очевидным тождеством: $(1+x)^{2n} = (1+x)^n \cdot (1+x)^n$.

С одной стороны, коэффициент при $x^n$ в разложении $(1+x)^{2n}$ по формуле бинома Ньютона равен $C_{2n}^n$. Это правая часть нашего тождества.

С другой стороны, найдем коэффициент при $x^n$ в произведении двух одинаковых разложений:$$ (C_n^0 + C_n^1 x + \dots + C_n^n x^n) \cdot (C_n^0 + C_n^1 x + \dots + C_n^n x^n) $$

При перемножении этих двух многочленов член, содержащий $x^n$, образуется путем суммирования произведений членов вида $(C_n^k x^k)$ из первого многочлена и $(C_n^{n-k} x^{n-k})$ из второго, где $k$ пробегает все возможные значения от $0$ до $n$. Коэффициент при $x^n$ будет равен сумме коэффициентов этих произведений:$$ \text{Коэффициент при } x^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot C_n^{n-k} $$

Используя свойство симметрии биномиальных коэффициентов, $C_n^{n-k} = C_n^k$, мы можем переписать каждый член суммы $C_n^k \cdot C_n^{n-k}$ как $C_n^k \cdot C_n^k = (C_n^k)^2$. Таким образом, вся сумма коэффициентов равна:$$ \sum_{k=0}^{n} (C_n^k)^2 = (C_n^0)^2 + (C_n^1)^2 + \dots + (C_n^n)^2 $$

Это левая часть доказываемого тождества. Так как коэффициенты при одной и той же степени $x$ в левой и правой частях тождества $(1+x)^{2n} = (1+x)^n \cdot (1+x)^n$ должны быть равны, мы получаем:$$ (C_n^0)^2 + (C_n^1)^2 + \dots + (C_n^n)^2 = C_{2n}^n $$Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $(C_n^0)^2 + (C_n^1)^2 + \dots + (C_n^n)^2 = C_{2n}^n$ доказано. Были представлены два метода доказательства: комбинаторный (через подсчет числа комбинаций двумя способами) и алгебраический (через сравнение коэффициентов при разложении бинома). Оба метода подтверждают справедливость тождества.

2.47. Принадлежит ли число 10 области значений функции

$y = \sqrt{x^2 - 2x + 12}$?

Для того чтобы определить, принадлежит ли число 10 области значений функции $y = \sqrt{x^2 - 2x + 12}$, необходимо проверить, существует ли такое значение аргумента $x$, при котором значение функции $y$ будет равно 10. Для этого решим уравнение:

$10 = \sqrt{x^2 - 2x + 12}$

Поскольку левая и правая части уравнения неотрицательны, мы можем возвести обе части в квадрат:

$10^2 = (\sqrt{x^2 - 2x + 12})^2$

$100 = x^2 - 2x + 12$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 2x + 12 - 100 = 0$

$x^2 - 2x - 88 = 0$

Для того чтобы выяснить, имеет ли это уравнение действительные корни, найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-88) = 4 + 352 = 356$

Так как дискриминант $D = 356 > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что существуют такие значения $x$, при которых $y = 10$.

Следовательно, число 10 принадлежит области значений данной функции.

Ответ: да, принадлежит.

2.48. Найдите область определения функции:

1)

$y = \sqrt{x} + \sqrt{x-4};$

2)

$y = \sqrt{x(x-4)}.$

1) Область определения функции $y = \sqrt{x} + \sqrt{x-4}$ находится из условия, что выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x - 4 \ge 0 \end{cases} $

Решим второе неравенство системы:

$x \ge 4$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \ge 0$ и $x \ge 4$. Общим решением является $x \ge 4$, так как если число больше или равно 4, оно автоматически больше или равно 0.

Таким образом, область определения функции — это промежуток $[4; +\infty)$.

Ответ: $[4; +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{x(x-4)}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x(x-4) \ge 0$

Для решения этого квадратичного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем нули выражения $x(x-4)$, решив уравнение $x(x-4) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0]$, $[0; 4]$ и $[4; +\infty)$. Определим знак выражения $x(x-4)$ на каждом из этих интервалов:

- для $x < 0$ (например, $x=-1$): $(-1)(-1-4) = 5 > 0$;

- для $0 < x < 4$ (например, $x=1$): $1(1-4) = -3 < 0$;

- для $x > 4$ (например, $x=5$): $5(5-4) = 5 > 0$.

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение $x(x-4)$ больше или равно нулю. Это происходит на интервалах $(-\infty; 0]$ и $[4; +\infty)$, включая концы интервалов, так как неравенство нестрогое.

Следовательно, область определения функции — это объединение этих промежутков.

Ответ: $(-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.

2.49. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases}x \le 3 - \frac{1}{x-1} \\|x+1| < 4;\end{cases}$

2) $\begin{cases}\frac{x+7}{x-5} + \frac{3x+1}{2} \ge 0, \\|5-x| \le 2.\end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x \le 3 - \frac{1}{x-1} \\ |x+1| < 4 \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство: $x \le 3 - \frac{1}{x-1}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x - 3 + \frac{1}{x-1} \le 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x-3)(x-1) + 1}{x-1} \le 0$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2 - x - 3x + 3 + 1}{x-1} \le 0$

$\frac{x^2 - 4x + 4}{x-1} \le 0$

Свернем числитель по формуле квадрата разности:

$\frac{(x-2)^2}{x-1} \le 0$

Это неравенство решим методом интервалов. Нули числителя: $x=2$. Ноль знаменателя: $x=1$.

Числитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=2$ и положителен при $x \ne 2$.

Неравенство выполняется в двух случаях:

1. Дробь равна нулю. Это возможно, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $(x-2)^2 = 0 \implies x=2$. При $x=2$ знаменатель $2-1=1 \ne 0$. Значит, $x=2$ является решением.

2. Дробь меньше нуля. Это возможно, когда числитель положителен, а знаменатель отрицателен. $(x-2)^2 > 0 \implies x \ne 2$. $x-1 < 0 \implies x < 1$. Таким образом, $x < 1$.

Объединяя оба случая, получаем решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 1) \cup \{2\}$.

Теперь решим второе неравенство: $|x+1| < 4$.

Это неравенство равносильно системе:

$-4 < x+1 < 4$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-4 - 1 < x < 4 - 1$

$-5 < x < 3$

Решение второго неравенства: $x \in (-5, 3)$.

Найдём пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, 1) \cup \{2\}$ и $(-5, 3)$.

Пересечение интервала $(-\infty, 1)$ и $(-5, 3)$ дает интервал $(-5, 1)$.

Точка $x=2$ также входит в интервал $(-5, 3)$, так как $-5 < 2 < 3$.

Следовательно, итоговое решение системы — это объединение этих результатов.

Ответ: $x \in (-5, 1) \cup \{2\}$.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x+7}{x-5} + \frac{3x+1}{2} \ge 0 \\ |5-x| \le 2 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $\frac{x+7}{x-5} + \frac{3x+1}{2} \ge 0$. Область допустимых значений: $x \ne 5$.

Приведем к общему знаменателю $2(x-5)$:

$\frac{2(x+7) + (3x+1)(x-5)}{2(x-5)} \ge 0$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{2x + 14 + 3x^2 - 15x + x - 5}{2(x-5)} \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{3x^2 - 12x + 9}{2(x-5)} \ge 0$

Вынесем общий множитель 3 в числителе:

$\frac{3(x^2 - 4x + 3)}{2(x-5)} \ge 0$

Разделим обе части на положительное число $3/2$:

$\frac{x^2 - 4x + 3}{x-5} \ge 0$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ это $x_1=1$ и $x_2=3$.

$\frac{(x-1)(x-3)}{x-5} \ge 0$

Решим методом интервалов. Критические точки: $x=1, x=3, x=5$.

Проверяя знаки на интервалах $(-\infty, 1), (1, 3), (3, 5), (5, \infty)$, получаем, что неравенство выполняется для $x \in [1, 3] \cup (5, \infty)$. Точки $x=1$ и $x=3$ включаются, так как неравенство нестрогое, а точка $x=5$ исключается, так как она обращает знаменатель в ноль.

Теперь решим второе неравенство: $|5-x| \le 2$.

Так как $|5-x| = |x-5|$, неравенство можно переписать как $|x-5| \le 2$.

Это равносильно двойному неравенству:

$-2 \le x-5 \le 2$

Прибавим 5 ко всем частям:

$-2+5 \le x \le 2+5$

$3 \le x \le 7$

Решение второго неравенства: $x \in [3, 7]$.

Найдём пересечение решений: $[1, 3] \cup (5, \infty)$ и $[3, 7]$.

Пересечение множества $[1, 3]$ и $[3, 7]$ — это точка $\{3\}$.

Пересечение множества $(5, \infty)$ и $[3, 7]$ — это интервал $(5, 7]$.

Объединяя эти результаты, получаем итоговое решение системы.

Ответ: $x \in \{3\} \cup (5, 7]$.

2.50. Найдите все решения неравенства $\frac{x^2 - 4x}{x - 1} \le 0$, которые удовлетворяют неравенству $(x^2 - 1)(3 - x) \ge 0$.

Для решения задачи необходимо найти множества решений для каждого неравенства по отдельности, а затем найти их пересечение — те значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно.

Решение неравенства $\frac{x^2 - 4x}{x - 1} \le 0$

Сначала разложим числитель на множители: $x^2 - 4x = x(x-4)$. Неравенство принимает вид: $\frac{x(x - 4)}{x - 1} \le 0$.

Найдем точки, в которых выражение меняет знак (нули числителя) и точки разрыва (нули знаменателя).
Нули числителя: $x(x-4) = 0$, откуда $x = 0$ и $x = 4$. Эти точки являются решениями, так как неравенство нестрогое.
Нуль знаменателя: $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$. Эта точка не входит в область допустимых значений.

Применим метод интервалов. Отметим точки $0, 1, 4$ на числовой оси (точка $1$ выколота) и определим знаки дроби в каждом из получившихся интервалов.

Неравенство выполняется, когда выражение отрицательно или равно нулю. Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup (1, 4]$.

Решение второго неравенства $(x^2 - 1)(3 - x) \ge 0$

Разложим на множители выражение $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. Неравенство принимает вид: $(x-1)(x+1)(3-x) \ge 0$.

Найдем нули выражения: $(x-1)(x+1)(3-x) = 0$, откуда $x = -1$, $x = 1$, $x = 3$. Так как неравенство нестрогое, все эти точки являются решениями.

Применим метод интервалов. Отметим точки $-1, 1, 3$ на числовой оси и определим знаки выражения в каждом интервале.

Неравенство выполняется, когда выражение положительно или равно нулю. Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, 3]$.

Нахождение общих решений

Найдем пересечение множеств решений: $( (-\infty, 0] \cup (1, 4] ) \cap ( (-\infty, -1] \cup [1, 3] )$. Изобразим оба решения на одной числовой оси для наглядности.

Из графика видно, что общие решения находятся на пересечении областей, отмеченных синим и красным. Это интервалы $(-\infty, -1]$ (пересечение $(-\infty, 0]$ и $(-\infty, -1]$) и $(1, 3]$ (пересечение $(1, 4]$ и $[1, 3]$). Точка 1 не входит в итоговое решение, так как она не принадлежит множеству решений первого неравенства (выколотая точка). Объединяя эти участки, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup (1, 3]$.