Номер 2.50, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.50. Найдите все решения неравенства $\frac{x^2 - 4x}{x - 1} \le 0$, которые удовлетворяют неравенству $(x^2 - 1)(3 - x) \ge 0$.

Для решения задачи необходимо найти множества решений для каждого неравенства по отдельности, а затем найти их пересечение — те значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно.

Решение неравенства $\frac{x^2 - 4x}{x - 1} \le 0$

Сначала разложим числитель на множители: $x^2 - 4x = x(x-4)$. Неравенство принимает вид: $\frac{x(x - 4)}{x - 1} \le 0$.

Найдем точки, в которых выражение меняет знак (нули числителя) и точки разрыва (нули знаменателя).
Нули числителя: $x(x-4) = 0$, откуда $x = 0$ и $x = 4$. Эти точки являются решениями, так как неравенство нестрогое.
Нуль знаменателя: $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$. Эта точка не входит в область допустимых значений.

Применим метод интервалов. Отметим точки $0, 1, 4$ на числовой оси (точка $1$ выколота) и определим знаки дроби в каждом из получившихся интервалов.

Неравенство выполняется, когда выражение отрицательно или равно нулю. Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup (1, 4]$.

Решение второго неравенства $(x^2 - 1)(3 - x) \ge 0$

Разложим на множители выражение $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. Неравенство принимает вид: $(x-1)(x+1)(3-x) \ge 0$.

Найдем нули выражения: $(x-1)(x+1)(3-x) = 0$, откуда $x = -1$, $x = 1$, $x = 3$. Так как неравенство нестрогое, все эти точки являются решениями.

Применим метод интервалов. Отметим точки $-1, 1, 3$ на числовой оси и определим знаки выражения в каждом интервале.

Неравенство выполняется, когда выражение положительно или равно нулю. Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, 3]$.

Нахождение общих решений

Найдем пересечение множеств решений: $( (-\infty, 0] \cup (1, 4] ) \cap ( (-\infty, -1] \cup [1, 3] )$. Изобразим оба решения на одной числовой оси для наглядности.

Из графика видно, что общие решения находятся на пересечении областей, отмеченных синим и красным. Это интервалы $(-\infty, -1]$ (пересечение $(-\infty, 0]$ и $(-\infty, -1]$) и $(1, 3]$ (пересечение $(1, 4]$ и $[1, 3]$). Точка 1 не входит в итоговое решение, так как она не принадлежит множеству решений первого неравенства (выколотая точка). Объединяя эти участки, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup (1, 3]$.