Номер 3.5, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.5. Напишите формулу общего члена последовательности натуральных чисел, при делении которых на 4 в остатке получается 1.

Пусть $a_n$ — это n-й член искомой последовательности натуральных чисел. Согласно условию задачи, при делении любого члена последовательности на 4 в остатке должен получаться 1. Любое натуральное число, удовлетворяющее этому условию, можно представить с помощью формулы деления с остатком: $a = 4k + 1$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, \ldots$).

Чтобы найти члены последовательности, будем подставлять последовательные значения $k$ начиная с 0:

При $k=0$ получаем первый член последовательности: $a_1 = 4 \cdot 0 + 1 = 1$.

При $k=1$ получаем второй член последовательности: $a_2 = 4 \cdot 1 + 1 = 5$.

При $k=2$ получаем третий член последовательности: $a_3 = 4 \cdot 2 + 1 = 9$.

При $k=3$ получаем четвертый член последовательности: $a_4 = 4 \cdot 3 + 1 = 13$.

Таким образом, мы получаем последовательность чисел: $1, 5, 9, 13, \ldots$. Эта последовательность является арифметической прогрессией, поскольку разность между любыми двумя последовательными членами постоянна.

Найдем первый член и разность этой прогрессии:

Первый член $a_1 = 1$.

Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 5 - 1 = 4$.

Формула общего (n-го) члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим в эту формулу найденные значения $a_1=1$ и $d=4$:

$a_n = 1 + (n-1) \cdot 4$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a_n = 1 + 4n - 4$

$a_n = 4n - 3$

Эта формула задает общий член искомой последовательности, где $n$ — номер члена последовательности, являющийся натуральным числом ($n = 1, 2, 3, \ldots$).

Ответ: $a_n = 4n - 3$