Номер 3.6, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.6. Напишите формулу общего члена последовательности натуральных чисел, при делении которых на 5 в остатке получается 2.

3.6. Пусть искомая последовательность натуральных чисел задается формулой общего члена $a_n$, где $n$ — номер члена последовательности, являющийся натуральным числом ($n=1, 2, 3, \ldots$).

По условию, каждый член последовательности $a_n$ при делении на 5 дает в остатке 2. Используя теорему о делении с остатком, мы можем записать любой такой член в виде:

$a_n = 5k + 2$

Здесь $k$ — это частное от деления, которое должно быть целым неотрицательным числом ($k = 0, 1, 2, \ldots$), чтобы $a_n$ было натуральным числом.

Найдем первые несколько членов этой последовательности, подставляя последовательные значения $k$, начиная с $k=0$:

Если $k=0$, то первый член $a_1 = 5 \cdot 0 + 2 = 2$.
Если $k=1$, то второй член $a_2 = 5 \cdot 1 + 2 = 7$.
Если $k=2$, то третий член $a_3 = 5 \cdot 2 + 2 = 12$.
Если $k=3$, то четвертый член $a_4 = 5 \cdot 3 + 2 = 17$.

Мы получили последовательность: $2, 7, 12, 17, \ldots$. Эта последовательность является арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя последовательными членами постоянна.

Первый член прогрессии $a_1 = 2$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 7 - 2 = 5$.

Формула общего ($n$-го) члена арифметической прогрессии имеет вид:

$a_n = a_1 + (n - 1)d$

Подставим в эту формулу наши значения $a_1 = 2$ и $d = 5$:

$a_n = 2 + (n - 1) \cdot 5$

Теперь упростим выражение:

$a_n = 2 + 5n - 5$

$a_n = 5n - 3$

Это и есть искомая формула общего члена последовательности. Проверим ее для первых нескольких значений $n$:

При $n=1$: $a_1 = 5(1) - 3 = 2$. (При делении 2 на 5 получаем 0 и в остатке 2).
При $n=2$: $a_2 = 5(2) - 3 = 7$. (При делении 7 на 5 получаем 1 и в остатке 2).
При $n=3$: $a_3 = 5(3) - 3 = 12$. (При делении 12 на 5 получаем 2 и в остатке 2).

Формула работает корректно для всех натуральных $n$.

Ответ: $a_n = 5n - 3$, где $n \in \mathbb{N}$.