Номер 3.12, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.12. Напишите формулу общего члена последовательности, заданной рекуррентной формулой ${$x_n$}$, и укажите ее первые 4 члена:

1) $x_1=3, x_{n+1}=2x_n, n \ge 1$;

2) $x_1=1, x_{n+1}=1-x_n, n \ge 1$.

1) Для последовательности, заданной рекуррентной формулой $x_1=3, x_{n+1}=2x_n, n \ge 1$.

Сначала найдем первые четыре члена последовательности, последовательно вычисляя каждый следующий член через предыдущий:
$x_1 = 3$ (задано)
$x_2 = 2x_1 = 2 \cdot 3 = 6$
$x_3 = 2x_2 = 2 \cdot 6 = 12$
$x_4 = 2x_3 = 2 \cdot 12 = 24$
Таким образом, первые четыре члена последовательности: 3, 6, 12, 24.

Теперь найдем формулу общего члена. Рекуррентное соотношение $x_{n+1}=2x_n$ означает, что каждый член последовательности в 2 раза больше предыдущего. Это определение геометрической прогрессии со знаменателем $q=2$. Первый член прогрессии $x_1=3$. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$. Подставив известные значения, получаем искомую формулу общего члена: $x_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.

Ответ: Формула общего члена: $x_n = 3 \cdot 2^{n-1}$. Первые четыре члена: 3, 6, 12, 24.

2) Для последовательности, заданной рекуррентной формулой $x_1=1, x_{n+1}=1-x_n, n \ge 1$.

Сначала найдем первые четыре члена последовательности:
$x_1 = 1$ (задано)
$x_2 = 1 - x_1 = 1 - 1 = 0$
$x_3 = 1 - x_2 = 1 - 0 = 1$
$x_4 = 1 - x_3 = 1 - 1 = 0$
Таким образом, первые четыре члена последовательности: 1, 0, 1, 0.

Теперь найдем формулу общего члена. Мы видим, что значения членов последовательности чередуются: 1, 0, 1, 0, ... . Это периодическая последовательность с периодом 2. Для всех нечетных номеров $n$ член последовательности $x_n=1$, а для всех четных номеров $n$ член $x_n=0$. Такую зависимость можно выразить единой формулой. Например, с помощью выражения $(-1)^n$, которое равно -1 для нечетных $n$ и 1 для четных $n$. Формула $x_n = \frac{1 - (-1)^n}{2}$ дает нужный результат:
При нечетном $n$: $x_n = \frac{1 - (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
При четном $n$: $x_n = \frac{1 - 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$.
Эта формула полностью описывает последовательность.

Ответ: Формула общего члена: $x_n = \frac{1 - (-1)^n}{2}$. Первые четыре члена: 1, 0, 1, 0.