Номер 3.16, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.16. При каких значениях $a$ и $b$ последовательность, заданная формулой общего члена $x_n = \frac{an+2}{bn+1}$, является возрастающей или убывающей?

Для того чтобы определить, при каких значениях параметров $a$ и $b$ последовательность является возрастающей или убывающей, необходимо исследовать знак разности $x_{n+1} - x_n$ для всех натуральных $n \ge 1$.

Общий член последовательности задан формулой $x_n = \frac{an+2}{bn+1}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$x_{n+1} = \frac{a(n+1)+2}{b(n+1)+1} = \frac{an+a+2}{bn+b+1}$

Составим разность $x_{n+1} - x_n$:

$x_{n+1} - x_n = \frac{an+a+2}{bn+b+1} - \frac{an+2}{bn+1}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$x_{n+1} - x_n = \frac{(an+a+2)(bn+1) - (an+2)(bn+b+1)}{(bn+b+1)(bn+1)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$(an+a+2)(bn+1) = abn^2 + an + abn + a + 2bn + 2$

$(an+2)(bn+b+1) = abn^2 + abn + an + 2bn + 2b + 2$

Числитель равен:

$(abn^2 + an + abn + a + 2bn + 2) - (abn^2 + abn + an + 2bn + 2b + 2) = a - 2b$

Таким образом, разность имеет вид:

$x_{n+1} - x_n = \frac{a-2b}{(bn+1)(b(n+1)+1)}$

Для того чтобы последовательность была монотонной (строго возрастающей или строго убывающей), знак разности $x_{n+1} - x_n$ должен быть постоянным для всех $n \ge 1$. Это зависит от знака числителя $(a-2b)$ и знака знаменателя $((bn+1)(bn+b+1))$.

Знаменатель не должен обращаться в ноль и должен сохранять знак для всех $n \ge 1$. Рассмотрим функцию $f(n) = bn+1$.

1. Если $b=0$, последовательность принимает вид $x_n = an+2$. Это арифметическая прогрессия. Она возрастает при $a>0$ и убывает при $a<0$.

2. Если $b>0$, то $bn+1 > 0$ для всех $n \ge 1$. Знаменатель $(bn+1)(b(n+1)+1)$ всегда положителен.

3. Если $b<0$, то $bn+1$ — убывающая функция. Чтобы она сохраняла знак для всех $n \ge 1$, ее корень $n = -1/b$ должен лежать вне отрезка $[1, \infty)$. То есть, должно выполняться условие $-1/b < 1$. Так как $b<0$, умножение на $b$ меняет знак неравенства: $-1 > b$, или $b < -1$. В этом случае $bn+1 < 0$ для всех $n \ge 1$, и знаменатель, как произведение двух отрицательных чисел, будет положителен.

Если же $-1 \le b < 0$, то $bn+1$ будет менять знак (или обращаться в ноль) для $n \ge 1$, и последовательность не будет монотонной.

Итак, последовательность может быть монотонной только при $b \ge 0$ или $b < -1$. В этих случаях знаменатель положителен.

Возрастающая последовательность

Последовательность является возрастающей, если $x_{n+1} - x_n > 0$.

$\frac{a-2b}{(bn+1)(b(n+1)+1)} > 0$

Поскольку при $b>0$ или $b<-1$ знаменатель положителен, то для возрастания последовательности необходимо, чтобы числитель был положителен: $a-2b > 0$, то есть $a > 2b$.

В случае $b=0$, как мы выяснили, последовательность возрастает при $a>0$. Это условие является частным случаем $a>2b$ при $b=0$.

Таким образом, объединяя условия, получаем, что последовательность возрастает, если выполнены следующие условия:

$(b \ge 0 \text{ и } a > 2b)$ или $(b < -1 \text{ и } a > 2b)$.

Ответ: Последовательность является возрастающей при $(b \ge 0 \text{ и } a > 2b) \text{ или } (b < -1 \text{ и } a > 2b)$.

Убывающая последовательность

Последовательность является убывающей, если $x_{n+1} - x_n < 0$.

$\frac{a-2b}{(bn+1)(b(n+1)+1)} < 0$

При $b>0$ или $b<-1$ знаменатель положителен, следовательно, для убывания последовательности необходимо, чтобы числитель был отрицателен: $a-2b < 0$, то есть $a < 2b$.

В случае $b=0$, последовательность убывает при $a<0$. Это условие является частным случаем $a<2b$ при $b=0$.

Таким образом, объединяя условия, получаем, что последовательность убывает, если выполнены следующие условия:

$(b \ge 0 \text{ и } a < 2b)$ или $(b < -1 \text{ и } a < 2b)$.

Ответ: Последовательность является убывающей при $(b \ge 0 \text{ и } a < 2b) \text{ или } (b < -1 \text{ и } a < 2b)$.