Номер 3.19, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.19. Укажите область определения функции:

1) $y = \frac{4}{\sqrt{18x^2 - 3x - 1}}$;

2) $y = \sqrt{(x+4)(7-x)}$.

1) Область определения функции $y = \frac{4}{\sqrt{18x^2 - 3x - 1}}$ находится из условия, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным (поскольку извлекается квадратный корень, выражение должно быть неотрицательным, а так как оно находится в знаменателе, оно не может быть равно нулю). Следовательно, необходимо решить неравенство:$18x^2 - 3x - 1 > 0$.Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $18x^2 - 3x - 1 = 0$.Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:$D = (-3)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-1) = 9 + 72 = 81$.Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$x_1 = \frac{3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 18} = \frac{3 - 9}{36} = \frac{-6}{36} = -\frac{1}{6}$.$x_2 = \frac{3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 18} = \frac{3 + 9}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.Так как коэффициент при $x^2$ (равный 18) положителен, ветви параболы $f(x) = 18x^2 - 3x - 1$ направлены вверх. Это означает, что квадратный трехчлен принимает положительные значения на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.Таким образом, область определения функции задается объединением интервалов $x \in (-\infty; -1/6) \cup (1/3; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -\frac{1}{6}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{(x+4)(7-x)}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Следовательно, необходимо решить неравенство:$(x+4)(7-x) \ge 0$.Это квадратное неравенство. Найдем корни выражения, приравняв его к нулю: $(x+4)(7-x) = 0$.Корнями являются $x_1 = -4$ и $x_2 = 7$.Раскроем скобки в левой части неравенства, чтобы определить знак старшего коэффициента: $(x+4)(7-x) = 7x - x^2 + 28 - 4x = -x^2 + 3x + 28$.Коэффициент при $x^2$ равен -1, он отрицателен, значит, ветви параболы $f(x) = -x^2 + 3x + 28$ направлены вниз. Следовательно, неотрицательные значения функция принимает на отрезке между корнями.Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-4; 7]$.
Ответ: $[-4; 7]$.