Номер 3.22, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.22. Докажите утверждения для любого натурального n:

1) $n^3+5n : 6;$

2) $7^n+3n-1 : 9;$

3) $8^n+6 : 7;$

4) $10^n+18n-28 : 27;$

5) $9^n-8n-9 : 8, n>1;$

6) $n^4+6n^3+11n^2+6n : 24.$

1) Докажем, что выражение $n^3+5n$ делится на 6 для любого натурального $n$.
Преобразуем данное выражение: $n^3+5n = n^3-n+6n = n(n^2-1)+6n = n(n-1)(n+1)+6n$.
Выражение $(n-1)n(n+1)$ является произведением трех последовательных натуральных чисел. Среди трех последовательных чисел всегда есть как минимум одно четное число (делящееся на 2) и ровно одно число, кратное трем. Так как числа 2 и 3 взаимно просты, то произведение трех последовательных чисел всегда делится на $2 \cdot 3 = 6$.
Слагаемое $6n$ очевидно делится на 6 при любом натуральном $n$.
Сумма двух слагаемых, каждое из которых делится на 6, также делится на 6. Таким образом, исходное выражение $n^3+5n$ делится на 6.
Ответ: Утверждение доказано.

2) Докажем, что $7^n+3n-1$ делится на 9 для любого натурального $n$ методом математической индукции.
База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.
$7^1+3(1)-1 = 7+3-1 = 9$. Так как 9 делится на 9, база индукции верна.
Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k \ge 1$, то есть $7^k+3k-1$ делится на 9. Это означает, что существует целое число $m$, такое что $7^k+3k-1 = 9m$. Отсюда выразим $7^k = 9m-3k+1$.
Теперь докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть что выражение $7^{k+1}+3(k+1)-1$ делится на 9.
Рассмотрим это выражение:$7^{k+1}+3(k+1)-1 = 7 \cdot 7^k + 3k+3-1 = 7 \cdot 7^k + 3k+2$.
Подставим выражение для $7^k$ из предположения индукции:
$7(9m-3k+1) + 3k+2 = 63m - 21k + 7 + 3k + 2 = 63m - 18k + 9 = 9(7m-2k+1)$.
Так как $m$ и $k$ — целые числа, то $7m-2k+1$ также является целым числом. Следовательно, выражение $9(7m-2k+1)$ делится на 9. Шаг индукции доказан.
По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Утверждение доказано.

3) Докажем, что $8^n+6$ делится на 7 для любого натурального $n$.
Воспользуемся свойствами сравнений по модулю. Нам нужно доказать, что $8^n+6 \equiv 0 \pmod{7}$.
Найдем остаток от деления 8 на 7: $8 = 1 \cdot 7 + 1$, значит $8 \equiv 1 \pmod{7}$.
Возводя обе части сравнения в степень $n$, получаем: $8^n \equiv 1^n \pmod{7}$, то есть $8^n \equiv 1 \pmod{7}$.
Теперь прибавим 6 к обеим частям сравнения: $8^n+6 \equiv 1+6 \pmod{7}$, что дает $8^n+6 \equiv 7 \pmod{7}$.
Так как 7 делится на 7, то $7 \equiv 0 \pmod{7}$.
Следовательно, $8^n+6 \equiv 0 \pmod{7}$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

4) Докажем, что $10^n+18n-28$ делится на 27 для любого натурального $n$ методом математической индукции.
База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.
$10^1+18(1)-28 = 10+18-28 = 0$. Так как 0 делится на 27, база индукции верна.
Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k \ge 1$, то есть $10^k+18k-28$ делится на 27. Это означает, что $10^k+18k-28 = 27m$ для некоторого целого $m$. Отсюда $10^k = 27m-18k+28$.
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть $10^{k+1}+18(k+1)-28$ делится на 27.
Рассмотрим выражение для $n=k+1$:
$10^{k+1}+18(k+1)-28 = 10 \cdot 10^k + 18k+18-28 = 10 \cdot 10^k + 18k-10$.
Подставим выражение для $10^k$ из предположения индукции:
$10(27m-18k+28) + 18k-10 = 270m - 180k + 280 + 18k - 10 = 270m - 162k + 270$.
Вынесем общий множитель 27:
$27(10m) - 27(6k) + 27(10) = 27(10m - 6k + 10)$.
Так как $m$ и $k$ — целые числа, то $10m-6k+10$ тоже целое число. Следовательно, выражение $27(10m-6k+10)$ делится на 27. Шаг индукции доказан.
По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Утверждение доказано.

5) Докажем, что $9^n-8n-9$ делится на 8 для любого натурального $n>1$ методом математической индукции.
База индукции: Проверим утверждение для $n=2$ (так как $n>1$).
$9^2-8(2)-9 = 81-16-9 = 56$. Так как $56 = 7 \cdot 8$, то 56 делится на 8. База индукции верна.
Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k \ge 2$, то есть $9^k-8k-9$ делится на 8. Это означает, что $9^k-8k-9 = 8m$ для некоторого целого $m$. Отсюда $9^k = 8m+8k+9$.
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть $9^{k+1}-8(k+1)-9$ делится на 8.
Рассмотрим выражение для $n=k+1$:
$9^{k+1}-8(k+1)-9 = 9 \cdot 9^k - 8k-8-9 = 9 \cdot 9^k - 8k-17$.
Подставим выражение для $9^k$ из предположения индукции:
$9(8m+8k+9) - 8k-17 = 72m + 72k + 81 - 8k - 17 = 72m + 64k + 64$.
Вынесем общий множитель 8:
$8(9m + 8k + 8)$.
Так как $m$ и $k$ — целые числа, то $9m+8k+8$ тоже целое число. Следовательно, выражение $8(9m+8k+8)$ делится на 8. Шаг индукции доказан.
По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных $n>1$.
Ответ: Утверждение доказано.

6) Докажем, что выражение $n^4+6n^3+11n^2+6n$ делится на 24 для любого натурального $n$.
Разложим данный многочлен на множители. Сначала вынесем $n$ за скобки:
$n(n^3+6n^2+11n+6)$.
Найдем корни кубического многочлена $P(n) = n^3+6n^2+11n+6$. Заметим, что $P(-1) = (-1)^3+6(-1)^2+11(-1)+6 = -1+6-11+6 = 0$. Следовательно, $(n+1)$ является одним из множителей. Разделив $n^3+6n^2+11n+6$ на $(n+1)$, получим $n^2+5n+6$.
Таким образом, исходное выражение равно $n(n+1)(n^2+5n+6)$.
Разложим квадратный трехчлен $n^2+5n+6$ на множители. Его корнями являются $n=-2$ и $n=-3$. Значит, $n^2+5n+6 = (n+2)(n+3)$.
В итоге исходное выражение принимает вид: $n(n+1)(n+2)(n+3)$.
Это выражение является произведением четырех последовательных натуральных чисел. Докажем, что оно делится на 24.
$24 = 3 \cdot 8$.
1. Среди любых четырех последовательных чисел одно обязательно делится на 3 и одно обязательно делится на 4.2. Также среди четырех последовательных чисел есть два четных. Пусть это числа $2k$ и $2k+2$. Их произведение равно $2k(2k+2) = 4k(k+1)$. Так как $k$ и $k+1$ - два последовательных числа, одно из них четное, поэтому их произведение $k(k+1)$ делится на 2. Следовательно, произведение $4k(k+1)$ делится на $4 \cdot 2 = 8$.Таким образом, произведение четырех последовательных натуральных чисел всегда делится на 3 и на 8. Поскольку числа 3 и 8 взаимно просты, их произведение делится на $3 \cdot 8 = 24$.
Ответ: Утверждение доказано.