Номер 3.27, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.27. Покажите, что утверждение верно при любом натуральном n:

1) число $6^n+20n+24$ кратно 25;

2) если $0<a<b,$ то $a^n<b^n.$

1) Доказать, что $6^n + 20n + 24$ кратно 25 при любом $n \in \mathbb{N}$

Воспользуемся методом математической индукции:

1. База индукции ($n=1$):
   $6^1 + 20(1) + 24 = 6 + 20 + 24 = 50$.
   50 делится на 25 ($50 = 25 \cdot 2$). Верно.
2. Предположение индукции:
   Пусть при $n=k$ выражение $6^k + 20k + 24$ делится на 25 (т.е. равно $25m$, где $m \in \mathbb{Z}$).
3. Шаг индукции:
   Докажем, что при $n=k+1$ выражение $6^{k+1} + 20(k+1) + 24$ также делится на 25.
   Преобразуем выражение:
   $6 \cdot 6^k + 20k + 20 + 24 = 6 \cdot 6^k + 20k + 44$.
   Выделим структуру из предположения индукции (умножим предположение на 6):
   $6(6^k + 20k + 24) - 100k - 144 + 20k + 44 = 6 \cdot (25m) - 80k - 100$.
   Заметим ошибку в классическом разложении и попробуем иначе:
   $6^k \cdot 6 + 20k + 44 = (25m - 20k - 24) \cdot 6 + 20k + 44$
   $= 150m - 120k - 144 + 20k + 44 = 150m - 100k - 100$.
   Вынесем 25: $25(6m - 4k - 4)$.
   Так как результат кратен 25, утверждение доказано.

2) Доказать: если $0 < a < b$, то $a^n < b^n$ при любом $n \in \mathbb{N}$

Это утверждение можно доказать двумя способами:

• Способ А (Логический): Так как $a$ и $b$ — положительные числа, то при возведении в натуральную степень $n$ мы многократно перемножаем неравенства одного знака. По свойству неравенств: если $0 < a < b$ и $0 < c < d$, то $ac < bd$. Применяя это $n$ раз для $a < b$, получаем $a^n < b^n$.
• Способ Б (Индукция):
  1. База $n=1$: $a^1 < b^1$ (дано по условию).
  2. Предположим $a^k < b^k$.
  3. Для $n=k+1$: умножим левую часть предположения на $a$, а правую на $b$. Так как $a < b$ и оба числа положительны, то $a \cdot a^k < b \cdot b^k$, следовательно $a^{k+1} < b^{k+1}$.