Номер 3.27, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.27. Покажите, что утверждение верно при любом натураль-
ном n:

1) число $6^n+20n+24$ кратно 25;

2) если $0

1) число $6^n+20n+24$ кратно 25;

Докажем данное утверждение методом математической индукции для любого натурального $n$.

Шаг 1: База индукции.
Проверим утверждение для $n=1$. Подставим $n=1$ в выражение:
$6^1 + 20 \cdot 1 + 24 = 6 + 20 + 24 = 50$.
Число 50 кратно 25, так как $50 = 2 \cdot 25$. Следовательно, утверждение верно для $n=1$.

Шаг 2: Индукционное предположение.
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. То есть, выражение $6^k + 20k + 24$ кратно 25. Это означает, что существует такое целое число $m$, что $6^k + 20k + 24 = 25m$.

Шаг 3: Индукционный переход.
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$. То есть, необходимо доказать, что выражение $6^{k+1} + 20(k+1) + 24$ также кратно 25.
Преобразуем это выражение:
$6^{k+1} + 20(k+1) + 24 = 6 \cdot 6^k + 20k + 20 + 24 = 6 \cdot 6^k + 20k + 44$.
Из индукционного предположения выразим $6^k = 25m - 20k - 24$ и подставим в наше выражение:
$6(25m - 20k - 24) + 20k + 44 = 150m - 120k - 144 + 20k + 44 = 150m - 100k - 100$.
Вынесем общий множитель 25 за скобки:
$25(6m - 4k - 4)$.
Поскольку $m$ и $k$ являются целыми числами, то выражение в скобках $(6m - 4k - 4)$ также является целым числом. Следовательно, $6^{k+1} + 20(k+1) + 24$ кратно 25.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

2) если $0<a<b$, то $a^n<b^n$.

Докажем данное утверждение методом математической индукции для любого натурального $n$.

Шаг 1: База индукции.
Проверим утверждение для $n=1$.
При $n=1$ неравенство принимает вид $a^1 < b^1$, то есть $a < b$. Это верно согласно условию $0

Шаг 2: Индукционное предположение.
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. То есть, при условии $0

Шаг 3: Индукционный переход.
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$. То есть, нужно доказать, что если $0Из индукционного предположения мы имеем $a^k < b^k$.
Так как по условию $a > 0$, мы можем умножить обе части этого неравенства на положительное число $a$, не меняя знака неравенства:
$a \cdot a^k < a \cdot b^k \implies a^{k+1} < ab^k$ (неравенство 1).
Также по условию $a < b$. Так как $b > 0$, то и $b^k > 0$. Умножим обе части неравенства $a < b$ на положительное число $b^k$, не меняя знака неравенства:
$a \cdot b^k < b \cdot b^k \implies ab^k < b^{k+1}$ (неравенство 2).
Из неравенств (1) и (2) по свойству транзитивности ($a^{k+1} < ab^k$ и $ab^k < b^{k+1}$) следует, что:
$a^{k+1} < b^{k+1}$.
Индукционный переход доказан.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: Утверждение доказано.