Номер 3.26, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.26. Последовательность $\{b_n\}$ задана рекуррентной формулой $b_1=3, b_{n+1}=7b_n+3$. Покажите, что общий член этой последовательности определяется формулой $b_n = \frac{7^n - 1}{2}$.

Чтобы доказать, что общий член последовательности $\{b_n\}$, заданной рекуррентной формулой $b_1=3$ и $b_{n+1}=7b_n+3$, определяется формулой $b_n = \frac{7^n - 1}{2}$, воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции.

Проверим справедливость формулы для $n=1$.

По условию задачи, $b_1 = 3$.

Теперь подставим $n=1$ в предложенную формулу для общего члена:

$b_1 = \frac{7^1 - 1}{2} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Поскольку полученное значение совпадает с заданным ($3=3$), формула верна для $n=1$.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что формула верна для некоторого произвольного натурального числа $k \ge 1$. То есть, мы считаем, что истинно равенство:

$b_k = \frac{7^k - 1}{2}$.

Шаг 3: Индукционный переход.

Докажем, что если формула верна для $n=k$, то она верна и для следующего члена последовательности, то есть для $n=k+1$. Нам нужно показать, что $b_{k+1} = \frac{7^{k+1} - 1}{2}$.

Для этого воспользуемся рекуррентной формулой, данной в условии задачи:

$b_{k+1} = 7b_k + 3$.

Теперь заменим $b_k$ на выражение из нашего индукционного предположения:

$b_{k+1} = 7 \cdot \left( \frac{7^k - 1}{2} \right) + 3$.

Выполним алгебраические преобразования, чтобы упростить это выражение:

$b_{k+1} = \frac{7 \cdot (7^k - 1)}{2} + 3 = \frac{7 \cdot 7^k - 7 \cdot 1}{2} + 3 = \frac{7^{k+1} - 7}{2} + 3$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю 2:

$b_{k+1} = \frac{7^{k+1} - 7}{2} + \frac{6}{2} = \frac{7^{k+1} - 7 + 6}{2} = \frac{7^{k+1} - 1}{2}$.

Мы получили в точности то выражение, которое требовалось доказать для $b_{k+1}$.

Таким образом, мы доказали, что формула верна для $n=1$, и доказали, что из ее верности для $n=k$ следует ее верность для $n=k+1$. По принципу математической индукции, формула $b_n = \frac{7^n - 1}{2}$ верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Утверждение доказано методом математической индукции.