Номер 3.24, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.24. Докажите, что $n$ прямых линий, среди которых не имеются параллельные между собой прямые и никакие три из них не проходят через одну точку, делят плоскость на $\frac{n^2+n+2}{2}$ частей.

Доказательство проведем методом математической индукции по числу прямых n.

Обозначим через $L(n)$ количество частей, на которые n прямых в общем положении (никакие две не параллельны, никакие три не пересекаются в одной точке) делят плоскость. Требуется доказать, что для любого натурального числа n ≥ 1 верна формула:

$L(n) = \frac{n^2 + n + 2}{2}$

Сначала проверим базу индукции для n = 1. Одна прямая делит плоскость на 2 части. Формула дает: $L(1) = \frac{1^2 + 1 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Таким образом, база индукции верна.

Далее, сделаем индукционное предположение. Предположим, что для некоторого натурального числа k ≥ 1 утверждение верно, то есть k прямых в общем положении делят плоскость на $L(k) = \frac{k^2 + k + 2}{2}$ частей.

Теперь выполним индукционный шаг. Докажем, что утверждение верно и для k+1 прямой. Рассмотрим k прямых, которые по нашему предположению делят плоскость на $L(k)$ частей. Добавим к ним (k+1)-ю прямую. По условию задачи, эта новая прямая не параллельна ни одной из существующих k прямых, поэтому она пересекает каждую из них. Также, по условию, она не проходит через точки пересечения первых k прямых, так как никакие три прямые не проходят через одну точку. Следовательно, (k+1)-я прямая пересечет k предыдущих прямых в k различных точках. Эти k точек разделят (k+1)-ю прямую на k+1 интервал (два из которых — лучи, уходящие в бесконечность, и k-1 — отрезки). Каждый из этих k+1 интервалов проходит через одну из существующих $L(k)$ областей и делит ее на две части. Таким образом, добавление (k+1)-й прямой увеличивает общее число областей на k+1. Новое количество областей $L(k+1)$ будет равно:

$L(k+1) = L(k) + (k+1)$

Подставим выражение для $L(k)$ из индукционного предположения:

$L(k+1) = \left(\frac{k^2 + k + 2}{2}\right) + (k+1) = \frac{k^2 + k + 2 + 2(k+1)}{2} = \frac{k^2 + k + 2 + 2k + 2}{2} = \frac{k^2 + 3k + 4}{2}$

Проверим, соответствует ли полученный результат значению, которое дает исходная формула при n = k+1:

$\frac{(k+1)^2 + (k+1) + 2}{2} = \frac{(k^2 + 2k + 1) + (k+1) + 2}{2} = \frac{k^2 + 2k + 1 + k + 1 + 2}{2} = \frac{k^2 + 3k + 4}{2}$

Поскольку выражения совпали, индукционный переход доказан. Таким образом, по принципу математической индукции, формула верна для любого натурального числа n.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.