Номер 3.28, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.28. Докажите неравенство при любых указанных натуральных n:

1) $2^n > n, n \ge 0;$

2) $2^n > 2n+1, n \ge 3;$

3) $2^n > n^3, n \ge 10;$

4) $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}, n \ge 2.$

1) Докажем неравенство $2^n > n$ для всех натуральных $n \ge 0$ методом математической индукции.

База индукции:

При $n=0$: $2^0 > 0 \implies 1 > 0$. Неравенство верно.

Шаг индукции:

Предположим, что неравенство верно для некоторого целого числа $k \ge 0$, то есть $2^k > k$. Это наше индукционное предположение.

Докажем, что неравенство верно и для $k+1$, то есть $2^{k+1} > k+1$.

Рассмотрим левую часть неравенства для $k+1$:

$2^{k+1} = 2^k + 2^k$.

Используя индукционное предположение $2^k > k$, получаем:

$2^{k+1} > k + 2^k$.

Так как $k \ge 0$, то $2^k \ge 2^0 = 1$.

Следовательно, $k + 2^k \ge k + 1$.

Объединяя неравенства, получаем: $2^{k+1} > k + 2^k \ge k+1$, откуда следует $2^{k+1} > k+1$.

Шаг индукции доказан. Следовательно, по принципу математической индукции, неравенство $2^n > n$ верно для всех целых $n \ge 0$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $2^n > 2n+1$ для всех натуральных $n \ge 3$ методом математической индукции.

База индукции:

При $n=3$: $2^3 > 2(3)+1 \implies 8 > 7$. Неравенство верно.

Шаг индукции:

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 3$, то есть $2^k > 2k+1$.

Докажем, что неравенство верно и для $k+1$, то есть $2^{k+1} > 2(k+1)+1$.

Правая часть неравенства для $k+1$ равна $2(k+1)+1 = 2k+2+1 = 2k+3$.

Рассмотрим левую часть: $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$.

Используя индукционное предположение $2^k > 2k+1$, получаем:

$2^{k+1} > 2(2k+1) = 4k+2$.

Теперь нам нужно показать, что $4k+2 > 2k+3$ для $k \ge 3$.

$4k+2 - (2k+3) = 2k-1$.

Так как $k \ge 3$, то $2k-1 \ge 2(3)-1 = 5 > 0$.

Следовательно, $4k+2 > 2k+3$.

Объединяя неравенства, получаем: $2^{k+1} > 4k+2 > 2k+3$, откуда следует $2^{k+1} > 2(k+1)+1$.

Шаг индукции доказан. Следовательно, по принципу математической индукции, неравенство $2^n > 2n+1$ верно для всех натуральных $n \ge 3$.

Ответ: Неравенство доказано.

3) Докажем неравенство $2^n > n^3$ для всех натуральных $n \ge 10$ методом математической индукции.

База индукции:

При $n=10$: $2^{10} = 1024$, $10^3 = 1000$. $1024 > 1000$. Неравенство верно.

Шаг индукции:

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 10$, то есть $2^k > k^3$.

Докажем, что неравенство верно и для $k+1$, то есть $2^{k+1} > (k+1)^3$.

Рассмотрим левую часть: $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$.

Используя индукционное предположение $2^k > k^3$, получаем:

$2^{k+1} > 2k^3$.

Теперь нам нужно показать, что $2k^3 > (k+1)^3$ для $k \ge 10$.

Это неравенство эквивалентно $2 > \frac{(k+1)^3}{k^3}$, или $2 > (1+\frac{1}{k})^3$.

Рассмотрим функцию $f(k) = (1+\frac{1}{k})^3$. При $k>0$ эта функция убывающая, так как $1/k$ убывает.

Следовательно, для $k \ge 10$ максимальное значение функции будет при $k=10$.

$(1+\frac{1}{10})^3 = (1.1)^3 = 1.331$.

Так как $2 > 1.331$, то неравенство $(1+\frac{1}{k})^3 < 2$ верно для всех $k \ge 10$.

Значит, $2k^3 > (k+1)^3$ для всех $k \ge 10$.

Объединяя неравенства, получаем: $2^{k+1} > 2k^3 > (k+1)^3$, откуда следует $2^{k+1} > (k+1)^3$.

Шаг индукции доказан. Следовательно, по принципу математической индукции, неравенство $2^n > n^3$ верно для всех натуральных $n \ge 10$.

Ответ: Неравенство доказано.

4) Докажем неравенство $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}$ для всех натуральных $n \ge 2$ методом математической индукции.

Обозначим сумму в левой части как $S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{i}}$.

База индукции:

При $n=2$: $S_2 = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$. Нужно доказать, что $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} > \sqrt{2}$.

Умножим обе части на $\sqrt{2}$: $\sqrt{2} + 1 > 2 \implies \sqrt{2} > 1$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, неравенство верно.

Шаг индукции:

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 2$, то есть $S_k > \sqrt{k}$.

Докажем, что неравенство верно и для $k+1$, то есть $S_{k+1} > \sqrt{k+1}$.

По определению, $S_{k+1} = S_k + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$.

Используя индукционное предположение $S_k > \sqrt{k}$, получаем:

$S_{k+1} > \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$.

Теперь нам нужно показать, что $\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}$ для $k \ge 2$.

Умножим обе части на $\sqrt{k+1}$ (это положительное число, знак неравенства не изменится):

$\sqrt{k}\sqrt{k+1} + 1 > (\sqrt{k+1})^2$

$\sqrt{k(k+1)} + 1 > k+1$

$\sqrt{k^2+k} > k$.

Так как $k \ge 2$, обе части неравенства положительны. Можем возвести в квадрат:

$k^2+k > k^2$

$k > 0$.

Поскольку $k \ge 2$, это неравенство очевидно верно. Так как все преобразования были эквивалентными, исходное неравенство $\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}$ также верно.

Объединяя неравенства, получаем: $S_{k+1} > \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}$, откуда следует $S_{k+1} > \sqrt{k+1}$.

Шаг индукции доказан. Следовательно, по принципу математической индукции, исходное неравенство верно для всех натуральных $n \ge 2$.

Ответ: Неравенство доказано.