Страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.27. Покажите, что утверждение верно при любом натураль-
ном n:

1) число $6^n+20n+24$ кратно 25;

2) если $0

1) число $6^n+20n+24$ кратно 25;

Докажем данное утверждение методом математической индукции для любого натурального $n$.

Шаг 1: База индукции.
Проверим утверждение для $n=1$. Подставим $n=1$ в выражение:
$6^1 + 20 \cdot 1 + 24 = 6 + 20 + 24 = 50$.
Число 50 кратно 25, так как $50 = 2 \cdot 25$. Следовательно, утверждение верно для $n=1$.

Шаг 2: Индукционное предположение.
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. То есть, выражение $6^k + 20k + 24$ кратно 25. Это означает, что существует такое целое число $m$, что $6^k + 20k + 24 = 25m$.

Шаг 3: Индукционный переход.
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$. То есть, необходимо доказать, что выражение $6^{k+1} + 20(k+1) + 24$ также кратно 25.
Преобразуем это выражение:
$6^{k+1} + 20(k+1) + 24 = 6 \cdot 6^k + 20k + 20 + 24 = 6 \cdot 6^k + 20k + 44$.
Из индукционного предположения выразим $6^k = 25m - 20k - 24$ и подставим в наше выражение:
$6(25m - 20k - 24) + 20k + 44 = 150m - 120k - 144 + 20k + 44 = 150m - 100k - 100$.
Вынесем общий множитель 25 за скобки:
$25(6m - 4k - 4)$.
Поскольку $m$ и $k$ являются целыми числами, то выражение в скобках $(6m - 4k - 4)$ также является целым числом. Следовательно, $6^{k+1} + 20(k+1) + 24$ кратно 25.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

2) если $0<a<b$, то $a^n<b^n$.

Докажем данное утверждение методом математической индукции для любого натурального $n$.

Шаг 1: База индукции.
Проверим утверждение для $n=1$.
При $n=1$ неравенство принимает вид $a^1 < b^1$, то есть $a < b$. Это верно согласно условию $0

Шаг 2: Индукционное предположение.
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. То есть, при условии $0

Шаг 3: Индукционный переход.
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$. То есть, нужно доказать, что если $0Из индукционного предположения мы имеем $a^k < b^k$.
Так как по условию $a > 0$, мы можем умножить обе части этого неравенства на положительное число $a$, не меняя знака неравенства:
$a \cdot a^k < a \cdot b^k \implies a^{k+1} < ab^k$ (неравенство 1).
Также по условию $a < b$. Так как $b > 0$, то и $b^k > 0$. Умножим обе части неравенства $a < b$ на положительное число $b^k$, не меняя знака неравенства:
$a \cdot b^k < b \cdot b^k \implies ab^k < b^{k+1}$ (неравенство 2).
Из неравенств (1) и (2) по свойству транзитивности ($a^{k+1} < ab^k$ и $ab^k < b^{k+1}$) следует, что:
$a^{k+1} < b^{k+1}$.
Индукционный переход доказан.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

3.28. Докажите неравенство при любых указанных натуральных n:

1) $2^n > n, n \ge 0;$

2) $2^n > 2n+1, n \ge 3;$

3) $2^n > n^3, n \ge 10;$

4) $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}, n \ge 2.$

1) Докажем неравенство $2^n > n$ для всех натуральных $n \ge 0$ методом математической индукции.

База индукции:

При $n=0$: $2^0 > 0 \implies 1 > 0$. Неравенство верно.

Шаг индукции:

Предположим, что неравенство верно для некоторого целого числа $k \ge 0$, то есть $2^k > k$. Это наше индукционное предположение.

Докажем, что неравенство верно и для $k+1$, то есть $2^{k+1} > k+1$.

Рассмотрим левую часть неравенства для $k+1$:

$2^{k+1} = 2^k + 2^k$.

Используя индукционное предположение $2^k > k$, получаем:

$2^{k+1} > k + 2^k$.

Так как $k \ge 0$, то $2^k \ge 2^0 = 1$.

Следовательно, $k + 2^k \ge k + 1$.

Объединяя неравенства, получаем: $2^{k+1} > k + 2^k \ge k+1$, откуда следует $2^{k+1} > k+1$.

Шаг индукции доказан. Следовательно, по принципу математической индукции, неравенство $2^n > n$ верно для всех целых $n \ge 0$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $2^n > 2n+1$ для всех натуральных $n \ge 3$ методом математической индукции.

База индукции:

При $n=3$: $2^3 > 2(3)+1 \implies 8 > 7$. Неравенство верно.

Шаг индукции:

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 3$, то есть $2^k > 2k+1$.

Докажем, что неравенство верно и для $k+1$, то есть $2^{k+1} > 2(k+1)+1$.

Правая часть неравенства для $k+1$ равна $2(k+1)+1 = 2k+2+1 = 2k+3$.

Рассмотрим левую часть: $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$.

Используя индукционное предположение $2^k > 2k+1$, получаем:

$2^{k+1} > 2(2k+1) = 4k+2$.

Теперь нам нужно показать, что $4k+2 > 2k+3$ для $k \ge 3$.

$4k+2 - (2k+3) = 2k-1$.

Так как $k \ge 3$, то $2k-1 \ge 2(3)-1 = 5 > 0$.

Следовательно, $4k+2 > 2k+3$.

Объединяя неравенства, получаем: $2^{k+1} > 4k+2 > 2k+3$, откуда следует $2^{k+1} > 2(k+1)+1$.

Шаг индукции доказан. Следовательно, по принципу математической индукции, неравенство $2^n > 2n+1$ верно для всех натуральных $n \ge 3$.

Ответ: Неравенство доказано.

3) Докажем неравенство $2^n > n^3$ для всех натуральных $n \ge 10$ методом математической индукции.

База индукции:

При $n=10$: $2^{10} = 1024$, $10^3 = 1000$. $1024 > 1000$. Неравенство верно.

Шаг индукции:

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 10$, то есть $2^k > k^3$.

Докажем, что неравенство верно и для $k+1$, то есть $2^{k+1} > (k+1)^3$.

Рассмотрим левую часть: $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$.

Используя индукционное предположение $2^k > k^3$, получаем:

$2^{k+1} > 2k^3$.

Теперь нам нужно показать, что $2k^3 > (k+1)^3$ для $k \ge 10$.

Это неравенство эквивалентно $2 > \frac{(k+1)^3}{k^3}$, или $2 > (1+\frac{1}{k})^3$.

Рассмотрим функцию $f(k) = (1+\frac{1}{k})^3$. При $k>0$ эта функция убывающая, так как $1/k$ убывает.

Следовательно, для $k \ge 10$ максимальное значение функции будет при $k=10$.

$(1+\frac{1}{10})^3 = (1.1)^3 = 1.331$.

Так как $2 > 1.331$, то неравенство $(1+\frac{1}{k})^3 < 2$ верно для всех $k \ge 10$.

Значит, $2k^3 > (k+1)^3$ для всех $k \ge 10$.

Объединяя неравенства, получаем: $2^{k+1} > 2k^3 > (k+1)^3$, откуда следует $2^{k+1} > (k+1)^3$.

Шаг индукции доказан. Следовательно, по принципу математической индукции, неравенство $2^n > n^3$ верно для всех натуральных $n \ge 10$.

Ответ: Неравенство доказано.

4) Докажем неравенство $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}$ для всех натуральных $n \ge 2$ методом математической индукции.

Обозначим сумму в левой части как $S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{i}}$.

База индукции:

При $n=2$: $S_2 = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$. Нужно доказать, что $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} > \sqrt{2}$.

Умножим обе части на $\sqrt{2}$: $\sqrt{2} + 1 > 2 \implies \sqrt{2} > 1$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, неравенство верно.

Шаг индукции:

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 2$, то есть $S_k > \sqrt{k}$.

Докажем, что неравенство верно и для $k+1$, то есть $S_{k+1} > \sqrt{k+1}$.

По определению, $S_{k+1} = S_k + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$.

Используя индукционное предположение $S_k > \sqrt{k}$, получаем:

$S_{k+1} > \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$.

Теперь нам нужно показать, что $\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}$ для $k \ge 2$.

Умножим обе части на $\sqrt{k+1}$ (это положительное число, знак неравенства не изменится):

$\sqrt{k}\sqrt{k+1} + 1 > (\sqrt{k+1})^2$

$\sqrt{k(k+1)} + 1 > k+1$

$\sqrt{k^2+k} > k$.

Так как $k \ge 2$, обе части неравенства положительны. Можем возвести в квадрат:

$k^2+k > k^2$

$k > 0$.

Поскольку $k \ge 2$, это неравенство очевидно верно. Так как все преобразования были эквивалентными, исходное неравенство $\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}$ также верно.

Объединяя неравенства, получаем: $S_{k+1} > \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}$, откуда следует $S_{k+1} > \sqrt{k+1}$.

Шаг индукции доказан. Следовательно, по принципу математической индукции, исходное неравенство верно для всех натуральных $n \ge 2$.

Ответ: Неравенство доказано.

3.29. Докажите неравенство $(1+h)^n > 1+nh$ для любого натурального $n \ge 2$, если $h > -1$, $h \ne 0$. Это неравенство называется неравенством Бернулли.

Для доказательства неравенства Бернулли $(1+h)^n > 1+nh$ для любого натурального числа $n \ge 2$, при условиях $h > -1$ и $h \ne 0$, воспользуемся методом математической индукции.

База индукции

Проверим истинность утверждения для наименьшего значения $n$ из заданного диапазона, то есть для $n=2$.

Подставляем $n=2$ в неравенство:

$(1+h)^2 > 1+2h$

Раскроем левую часть по формуле квадрата суммы:

$1 + 2h + h^2 > 1+2h$

Вычтем из обеих частей неравенства выражение $1+2h$:

$h^2 > 0$

По условию задачи $h \ne 0$. Квадрат любого действительного ненулевого числа всегда строго положителен. Следовательно, неравенство $h^2>0$ верно.

Таким образом, база индукции верна.

Индукционное предположение

Предположим, что неравенство справедливо для некоторого натурального числа $k$, где $k \ge 2$:

$(1+h)^k > 1+kh$

Индукционный шаг

Докажем, что если неравенство верно для $n=k$, то оно будет верно и для $n=k+1$. То есть, нам нужно доказать, что $(1+h)^{k+1} > 1+(k+1)h$.

Возьмем левую часть неравенства для $n=k+1$ и преобразуем ее:

$(1+h)^{k+1} = (1+h)^k \cdot (1+h)$

Согласно индукционному предположению, $(1+h)^k > 1+kh$. По условию $h > -1$, следовательно, $1+h > 0$. Мы можем умножить обе части неравенства предположения на положительное число $(1+h)$, при этом знак неравенства не изменится:

$(1+h)^k \cdot (1+h) > (1+kh) \cdot (1+h)$

Следовательно,

$(1+h)^{k+1} > (1+kh)(1+h)$

Раскроем скобки в правой части полученного неравенства:

$(1+kh)(1+h) = 1 + h + kh + kh^2 = 1 + (k+1)h + kh^2$

Таким образом, мы показали, что:

$(1+h)^{k+1} > 1 + (k+1)h + kh^2$

Теперь сравним правую часть этого неравенства с тем, что нам нужно доказать, т.е. с $1+(k+1)h$.

Поскольку $k \ge 2$ (положительное целое число) и $h \ne 0$ (значит $h^2 > 0$), произведение $kh^2$ является строго положительным числом: $kh^2 > 0$.

Это означает, что:

$1 + (k+1)h + kh^2 > 1+(k+1)h$

Применяя свойство транзитивности для неравенств, мы объединяем два последних результата:

$(1+h)^{k+1} > 1 + (k+1)h + kh^2$ и $1 + (k+1)h + kh^2 > 1+(k+1)h$

Отсюда следует, что:

$(1+h)^{k+1} > 1+(k+1)h$

Индукционный шаг доказан.

Вывод

Мы установили, что утверждение верно для $n=2$ (база индукции) и доказали, что из его верности для $n=k$ следует его верность для $n=k+1$ (индукционный шаг). По принципу математической индукции, неравенство $(1+h)^n > 1+nh$ доказано для всех натуральных чисел $n \ge 2$ при $h>-1$ и $h \ne 0$.

Ответ: Утверждение доказано методом математической индукции.

3.30. Постройте график функции:

1) $y=7-3x-x^2$;

2) $y=\frac{2x+3}{x+1}$.

1) $y=7-3x-x^2$

Это квадратичная функция. Для построения графика перепишем ее в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$: $y = -x^2 - 3x + 7$. Графиком является парабола.

1. Определим направление ветвей. Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot (-1)} = -1.5$
$y_v = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) + 7 = -2.25 + 4.5 + 7 = 9.25$
Вершина находится в точке $(-1.5; 9.25)$. Ось симметрии — прямая $x = -1.5$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $y = -0^2 - 3 \cdot 0 + 7 = 7$. Точка $(0; 7)$.
С осью Ox (при $y=0$): $-x^2 - 3x + 7 = 0$. Решая квадратное уравнение, получаем $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(-1)(7)}}{2(-1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{37}}{-2}$.
$x_1 \approx 1.54$, $x_2 \approx -4.54$. Точки $(\approx 1.54; 0)$ и $(\approx -4.54; 0)$.

4. Найдем несколько дополнительных точек. Используя ось симметрии $x=-1.5$:
Точке $(0; 7)$ симметрична точка $(-3; 7)$.
Для $x=1$: $y = -1^2 - 3(1) + 7 = 3$. Точка $(1; 3)$. Симметричная ей точка $(-4; 3)$.
Для $x=2$: $y = -2^2 - 3(2) + 7 = -3$. Точка $(2; -3)$. Симметричная ей точка $(-5; -3)$.

5. Построим график, используя найденные точки.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-1.5; 9.25)$ и ветвями, направленными вниз.

2) $y=\frac{2x+3}{x+1}$

Это дробно-рациональная функция. Графиком является гипербола.

1. Найдем область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$. Прямая $x = -1$ является вертикальной асимптотой графика.

2. Преобразуем выражение, выделив целую часть, чтобы определить асимптоты и смещения.
$y = \frac{2x+3}{x+1} = \frac{2(x+1) - 2 + 3}{x+1} = \frac{2(x+1) + 1}{x+1} = \frac{2(x+1)}{x+1} + \frac{1}{x+1} = 2 + \frac{1}{x+1}$.
Итак, $y = \frac{1}{x+1} + 2$. График этой функции получается из графика $y = \frac{1}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево и на 2 единицы вверх.
Горизонтальная асимптота: $y = 2$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{2(0)+3}{0+1} = 3$. Точка $(0; 3)$.
С осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{2x+3}{x+1} \Rightarrow 2x+3=0 \Rightarrow x=-1.5$. Точка $(-1.5; 0)$.

4. Найдем несколько дополнительных точек.
При $x = 1$: $y = \frac{1}{1+1} + 2 = 2.5$. Точка $(1; 2.5)$.
При $x = -2$: $y = \frac{1}{-2+1} + 2 = 1$. Точка $(-2; 1)$.
При $x = -3$: $y = \frac{1}{-3+1} + 2 = 1.5$. Точка $(-3; 1.5)$.

5. Используя асимптоты $x=-1$, $y=2$ и найденные точки, построим график.

Ответ: График функции — гипербола с вертикальной асимптотой $x=-1$ и горизонтальной асимптотой $y=2$.

3.31. Найдите область определения функции $f(x) = \frac{\sqrt{x-x^2+2}}{x}$.

Область определения функции $f(x) = \frac{\sqrt{x - x^2 + 2}}{x}$ находится из системы условий:
1. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным: $x - x^2 + 2 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x \neq 0$.

Сначала решим первое неравенство: $-x^2 + x + 2 \ge 0$.
Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x^2 - x - 2 \le 0$.

Теперь найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 2$, решив уравнение $x^2 - x - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - x - 2 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями $x_1$ и $x_2$.
Таким образом, решением первого неравенства является промежуток $x \in [-1, 2]$.

Теперь учтем второе условие $x \neq 0$. Для этого необходимо исключить точку $x=0$ из найденного отрезка $[-1, 2]$.
В результате получаем объединение двух интервалов: $[-1, 0) \cup (0, 2]$. Это и есть область определения исходной функции.

Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (0, 2]$.