Страница 76 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какую числовую последовательность называют арифметической прогрессией?

2. Что называется разностью арифметической прогрессии?

3. Напишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.

1. Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Иными словами, последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$, где $d$ — это некоторое постоянное для данной последовательности число. Например, последовательность 3, 7, 11, 15, ... является арифметической прогрессией, так как каждый следующий член получается прибавлением числа 4 к предыдущему. Ответ:

2. Разностью арифметической прогрессии называется постоянное число $d$, которое прибавляется к предыдущему члену последовательности, чтобы получить следующий. Разность может быть положительным числом (тогда прогрессия является возрастающей), отрицательным (прогрессия убывающая) или равной нулю (все члены прогрессии равны). Найти разность можно, если вычесть из любого члена прогрессии (начиная со второго) предшествующий ему член: $d = a_{n+1} - a_n$. Ответ:

3. Формула $n$-го члена арифметической прогрессии позволяет найти любой её член по его порядковому номеру, зная первый член и разность. Формула имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$. В этой формуле: $a_n$ — это $n$-й член прогрессии, $a_1$ — первый член, $n$ — порядковый номер искомого члена, $d$ — разность прогрессии. Ответ:

Воспитанники детского сада из кубиков с ребром 8 см построили «стену» так, как показано на рисунке 3.1. Сколько кубиков расположено в основании этой «стенки», если высота «стены» равна 56? Какова высота этой «стены», если в основании расположено 11 кубиков? Обоснуйте ответ.

Рис. 3.1

Сколько кубиков расположено в основании этой «стенки», если высота «стены» равна 56?

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать структуру «стены», показанную на рисунке. Из него следует, что количество рядов кубиков по высоте равно количеству кубиков в ее основании (в самом нижнем ряду). Общая высота стены $H$ равна произведению количества рядов $N_{\text{рядов}}$ на высоту одного кубика $a$.

По условию задачи дано, что ребро (а значит, и высота) одного кубика $a = 8 \text{ см}$, а общая высота стены $H = 56 \text{ см}$.

Сначала найдем количество рядов в стене, разделив ее общую высоту на высоту одного кубика:
$N_{\text{рядов}} = \frac{H}{a} = \frac{56}{8} = 7$.

Таким образом, стена состоит из 7 рядов. Поскольку количество кубиков в основании равно количеству рядов, в основании стены находится 7 кубиков.

Ответ: 7 кубиков.

Какова высота этой «стены», если в основании расположено 11 кубиков?

Исходя из той же закономерности, что и в предыдущем вопросе, количество рядов в стене равно количеству кубиков в ее основании.

Если в основании стены находится 11 кубиков, это означает, что стена состоит из 11 рядов.

Высота одного кубика по-прежнему составляет $a = 8 \text{ см}$. Чтобы найти общую высоту стены $H$, необходимо умножить количество рядов на высоту одного кубика:
$H = 11 \times 8 = 88 \text{ см}$.

Ответ: 88 см.

3.32. Найдите 5-й член арифметической прогрессии:

1) 19, 15, 11, ...;

2) -1, 3, 7, ....

1) Для того чтобы найти 5-й член арифметической прогрессии $19, 15, 11, \ldots$, необходимо сначала определить ее первый член и разность.

Первый член прогрессии $a_1 = 19$.
Второй член прогрессии $a_2 = 15$.
Разность арифметической прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Найдем ее, вычтя из второго члена первый:
$d = a_2 - a_1 = 15 - 19 = -4$.
Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Нам нужно найти 5-й член прогрессии, то есть $n=5$. Подставим известные значения в формулу:
$a_5 = a_1 + (5-1)d = 19 + 4 \cdot (-4) = 19 - 16 = 3$.
Ответ: 3

2) Для того чтобы найти 5-й член арифметической прогрессии $-1, 3, 7, \ldots$, необходимо также определить ее первый член и разность.

Первый член прогрессии $a_1 = -1$.
Второй член прогрессии $a_2 = 3$.
Найдем разность арифметической прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$.
Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения для нахождения 5-го члена ($n=5$):
$a_5 = a_1 + (5-1)d = -1 + 4 \cdot 4 = -1 + 16 = 15$.
Ответ: 15

3.33. Напишите первые четыре члена арифметической прогрессии ${a_n}$, если:

1) $a_1=10, d=4;$

2) $a_1=1.7, d=-0.2;$

3) $a_1=-3.5, d=0.6$

4) $a_1=\frac{4}{3}, d=\frac{1}{6}.$

1) Для нахождения членов арифметической прогрессии {$a_n$} используется формула $a_{n+1} = a_n + d$, где $a_n$ — текущий член прогрессии, $a_{n+1}$ — следующий член, а $d$ — разность прогрессии. В данном случае, дано $a_1 = 10$ и $d = 4$.
Первый член уже известен: $a_1 = 10$.
Второй член вычисляется как: $a_2 = a_1 + d = 10 + 4 = 14$.
Третий член: $a_3 = a_2 + d = 14 + 4 = 18$.
Четвертый член: $a_4 = a_3 + d = 18 + 4 = 22$.
Ответ: 10; 14; 18; 22.

2) Дано $a_1 = 1,7$ и $d = -0,2$.
Первый член: $a_1 = 1,7$.
Второй член: $a_2 = a_1 + d = 1,7 + (-0,2) = 1,5$.
Третий член: $a_3 = a_2 + d = 1,5 - 0,2 = 1,3$.
Четвертый член: $a_4 = a_3 + d = 1,3 - 0,2 = 1,1$.
Ответ: 1,7; 1,5; 1,3; 1,1.

3) Дано $a_1 = -3,5$ и $d = 0,6$.
Первый член: $a_1 = -3,5$.
Второй член: $a_2 = a_1 + d = -3,5 + 0,6 = -2,9$.
Третий член: $a_3 = a_2 + d = -2,9 + 0,6 = -2,3$.
Четвертый член: $a_4 = a_3 + d = -2,3 + 0,6 = -1,7$.
Ответ: -3,5; -2,9; -2,3; -1,7.

4) Дано $a_1 = \frac{4}{3}$ и $d = \frac{1}{6}$.
Первый член: $a_1 = \frac{4}{3}$.
Второй член: $a_2 = a_1 + d = \frac{4}{3} + \frac{1}{6}$. Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 6: $a_2 = \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{8}{6} + \frac{1}{6} = \frac{9}{6}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $a_2 = \frac{3}{2}$.
Третий член: $a_3 = a_2 + d = \frac{9}{6} + \frac{1}{6} = \frac{10}{6}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $a_3 = \frac{5}{3}$.
Четвертый член: $a_4 = a_3 + d = \frac{10}{6} + \frac{1}{6} = \frac{11}{6}$. Эта дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{4}{3}; \frac{3}{2}; \frac{5}{3}; \frac{11}{6}$.