Страница 83 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.63. Найдите $c_2$ и $c_3$, если числа $2, c_2, c_3, 0.25 c_2$ являются первыми четырьмя членами геометрической прогрессии.

Пусть данные числа являются первыми четырьмя членами геометрической прогрессии $(b_n)$. Обозначим их в соответствии с условием задачи:

$b_1 = 2$

$b_2 = c_2$

$b_3 = c_3$

$b_4 = 0,25 c_2$

Для любой геометрической прогрессии справедливо свойство, что квадрат любого ее члена (начиная со второго) равен произведению соседних с ним членов: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.

Применим это свойство для членов $b_2$ и $b_3$, чтобы составить систему уравнений.

Для члена $b_2$: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Подставив заданные значения, получим первое уравнение:

$c_2^2 = 2 \cdot c_3$ (1)

Для члена $b_3$: $b_3^2 = b_2 \cdot b_4$. Подставив заданные значения, получим второе уравнение:

$c_3^2 = c_2 \cdot (0,25 c_2)$

$c_3^2 = 0,25 c_2^2$ (2)

Решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases} c_2^2 = 2c_3 \\ c_3^2 = 0,25c_2^2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $c_3$ через $c_2$. Для этого извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{c_3^2} = \sqrt{0,25c_2^2}$

$|c_3| = 0,5|c_2|$

Это соотношение эквивалентно двум возможным случаям: $c_3 = 0,5c_2$ или $c_3 = -0,5c_2$. Рассмотрим каждый из них.

Случай 1: $c_3 = 0,5c_2$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы ($c_2^2 = 2c_3$):

$c_2^2 = 2 \cdot (0,5c_2)$

$c_2^2 = c_2$

$c_2^2 - c_2 = 0$

$c_2(c_2 - 1) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для $c_2$ и соответствующие им значения $c_3$:

Если $c_2 = 0$, то $c_3 = 0,5 \cdot 0 = 0$.

Если $c_2 = 1$, то $c_3 = 0,5 \cdot 1 = 0,5$.

Случай 2: $c_3 = -0,5c_2$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы ($c_2^2 = 2c_3$):

$c_2^2 = 2 \cdot (-0,5c_2)$

$c_2^2 = -c_2$

$c_2^2 + c_2 = 0$

$c_2(c_2 + 1) = 0$

Отсюда находим еще два возможных значения для $c_2$ и соответствующие им значения $c_3$:

Если $c_2 = 0$, то $c_3 = -0,5 \cdot 0 = 0$. Это решение уже было найдено в первом случае.

Если $c_2 = -1$, то $c_3 = -0,5 \cdot (-1) = 0,5$.

Таким образом, мы получили три уникальные пары решений для $(c_2, c_3)$:

1. $(0; 0)$. Последовательность: $2, 0, 0, 0$. Знаменатель прогрессии $q=0$.

2. $(1; 0,5)$. Последовательность: $2; 1; 0,5; 0,25$. Знаменатель прогрессии $q=0,5$.

3. $(-1; 0,5)$. Последовательность: $2; -1; 0,5; -0,25$. Знаменатель прогрессии $q=-0,5$.

Ответ: $c_2=0, c_3=0$; или $c_2=1, c_3=0,5$; или $c_2=-1, c_3=0,5$.

3.64. Определите номер $n$, если в геометрической прогрессии $\{b_n\}:

1) $q=3, b_1=2, b_n=162;$

2) $q=\frac{1}{2}, b_1=128, b_n=1;$

3) $q=-\frac{2}{3}, b_1=\frac{81}{4}, b_n=4;$

4) $q=0,1, b_1=2, b_n=0,002.$

1)

Для определения номера $n$ члена геометрической прогрессии $\{b_n\}$ используется формула $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По условию дано: $q=3$, $b_1=2$, $b_n=162$.

Подставим эти значения в формулу:

$162 = 2 \cdot 3^{n-1}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$81 = 3^{n-1}$

Представим 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$.

$3^4 = 3^{n-1}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$4 = n-1$

Отсюда находим $n$:

$n = 4 + 1 = 5$

Ответ: $n=5$.

2)

Используем ту же формулу: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию дано: $q=\frac{1}{2}$, $b_1=128$, $b_n=1$.

Подставим значения в формулу:

$1 = 128 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

Разделим обе части на 128:

$\frac{1}{128} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

Представим $\frac{1}{128}$ как степень числа $\frac{1}{2}$. Поскольку $2^7 = 128$, то $\frac{1}{128} = \frac{1}{2^7} = \left(\frac{1}{2}\right)^7$.

$\left(\frac{1}{2}\right)^7 = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

Приравниваем показатели степеней:

$7 = n-1$

Находим $n$:

$n = 7 + 1 = 8$

Ответ: $n=8$.

3)

Снова используем формулу $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию дано: $q=-\frac{2}{3}$, $b_1=\frac{81}{4}$, $b_n=4$.

Подставляем значения:

$4 = \frac{81}{4} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

Умножим обе части на $\frac{4}{81}$, чтобы выделить степень:

$4 \cdot \frac{4}{81} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

$\frac{16}{81} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

Представим $\frac{16}{81}$ как степень с основанием $-\frac{2}{3}$. Мы знаем, что $16=2^4$ и $81=3^4$, поэтому $\frac{16}{81} = \left(\frac{2}{3}\right)^4$. Так как результат положителен, показатель степени $n-1$ должен быть четным числом. Таким образом, $\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \left(-\frac{2}{3}\right)^4$.

$\left(-\frac{2}{3}\right)^4 = \left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

Приравниваем показатели:

$4 = n-1$

Находим $n$:

$n = 4 + 1 = 5$

Ответ: $n=5$.

4)

Используем формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию дано: $q=0,1$, $b_1=2$, $b_n=0,002$.

Подставляем значения:

$0,002 = 2 \cdot (0,1)^{n-1}$

Разделим обе части на 2:

$0,001 = (0,1)^{n-1}$

Представим 0,001 как степень числа 0,1. Мы знаем, что $0,1^3 = 0,001$.

$(0,1)^3 = (0,1)^{n-1}$

Приравниваем показатели степеней:

$3 = n-1$

Находим $n$:

$n = 3 + 1 = 4$

Ответ: $n=4$.

3.65. Могут ли числа 10, 13, 14 быть членами одной геометрической прогрессии (не обязательно соседними)?

Предположим, что числа 10, 13 и 14 являются членами некоторой геометрической прогрессии $(b_n)$ со знаменателем $q$. Пусть эти числа являются членами прогрессии с номерами $k$, $m$ и $n$ соответственно. То есть:

$b_k = 10$

$b_m = 13$

$b_n = 14$

Поскольку числа 10, 13, 14 различны, то и их номера $k, m, n$ должны быть различными натуральными числами.

Для любой геометрической прогрессии отношение двух ее членов является степенью знаменателя прогрессии. Возьмем отношения наших членов:

$\frac{b_m}{b_k} = \frac{13}{10} = q^{m-k}$

$\frac{b_n}{b_m} = \frac{14}{13} = q^{n-m}$

Так как $k, m, n$ — различные целые числа, то и разности $p = m-k$ и $s = n-m$ являются ненулевыми целыми числами.

Из полученных уравнений можно выразить знаменатель $q$:

$q = \left(\frac{13}{10}\right)^{\frac{1}{p}}$ и $q = \left(\frac{14}{13}\right)^{\frac{1}{s}}$

Приравняем эти два выражения:

$\left(\frac{13}{10}\right)^{\frac{1}{p}} = \left(\frac{14}{13}\right)^{\frac{1}{s}}$

Чтобы избавиться от дробных показателей, возведем обе части равенства в степень $ps$:

$\left(\frac{13}{10}\right)^s = \left(\frac{14}{13}\right)^p$

Преобразуем это уравнение, перенеся все множители в одну сторону:

$\frac{13^s}{10^s} = \frac{14^p}{13^p}$

$13^s \cdot 13^p = 10^s \cdot 14^p$

$13^{s+p} = 10^s \cdot 14^p$

Теперь разложим основания степеней 10 и 14 на простые множители:

$13^{s+p} = (2 \cdot 5)^s \cdot (2 \cdot 7)^p$

$13^{s+p} = 2^s \cdot 5^s \cdot 2^p \cdot 7^p$

$13^{s+p} = 2^{s+p} \cdot 5^s \cdot 7^p$

Мы получили равенство двух чисел, представленных в виде разложения на простые множители. Согласно основной теореме арифметики, разложение любого натурального числа на простые множители единственно. Это означает, что для выполнения равенства, степени у одинаковых простых оснований в левой и правой частях должны быть равны.

Сравним показатели степеней для каждого простого множителя:

• Для основания 2: в левой части показатель 0, в правой $s+p$. Значит, $s+p = 0$.
• Для основания 5: в левой части показатель 0, в правой $s$. Значит, $s=0$.
• Для основания 7: в левой части показатель 0, в правой $p$. Значит, $p=0$.
• Для основания 13: в левой части показатель $s+p$, в правой 0. Значит, $s+p=0$.

Система уравнений дает единственное решение: $p=0$ и $s=0$.

Однако, мы определили $p = m-k$ и $s = n-m$. Если $p=0$, то $m=k$. Если $s=0$, то $n=m$. Отсюда следует, что $k=m=n$. Это означает, что все три числа 10, 13 и 14 должны быть одним и тем же членом прогрессии, но они являются разными числами.

Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение было неверным.

Ответ: Нет, числа 10, 13 и 14 не могут быть членами одной геометрической прогрессии.

3.66. Между числами 1 и 256 расположите три числа так, чтобы полученные 5 чисел были последовательными членами геометрической прогрессии.

Пусть искомые три числа вместе с числами 1 и 256 образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$, состоящую из 5 членов. В этой прогрессии первый член $b_1 = 1$, а пятый член $b_5 = 256$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ - знаменатель прогрессии.

Для пятого члена прогрессии мы можем записать:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Подставим известные значения $b_1 = 1$ и $b_5 = 256$ в формулу:

$256 = 1 \cdot q^4$

$q^4 = 256$

Чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, необходимо извлечь корень четвертой степени из 256. Поскольку степень корня четная, существует два действительных решения:

$q_1 = \sqrt[4]{256} = 4$

$q_2 = -\sqrt[4]{256} = -4$

Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Знаменатель прогрессии $q = 4$.

Найдем три промежуточных члена прогрессии, которые нужно вставить между 1 и 256:

$b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot 4 = 4$

$b_3 = b_2 \cdot q = 4 \cdot 4 = 16$

$b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot 4 = 64$

В этом случае искомые числа: 4, 16, 64. Полученная последовательность: 1, 4, 16, 64, 256. Проверка: $b_5 = b_4 \cdot q = 64 \cdot 4 = 256$, что соответствует условию.

Случай 2: Знаменатель прогрессии $q = -4$.

Найдем три промежуточных члена прогрессии:

$b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot (-4) = -4$

$b_3 = b_2 \cdot q = (-4) \cdot (-4) = 16$

$b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot (-4) = -64$

В этом случае искомые числа: -4, 16, -64. Полученная последовательность: 1, -4, 16, -64, 256. Проверка: $b_5 = b_4 \cdot q = (-64) \cdot (-4) = 256$, что также соответствует условию.

Таким образом, существует два набора чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: 4, 16, 64 или -4, 16, -64.

3.67. Найдите три числа, являющиеся первыми тремя членами геометрической прогрессии, у которой сумма первого и третьего членов равна $52$, а квадрат второго члена равен $100$.

Пусть первые три члена геометрической прогрессии будут $b_1$, $b_2$ и $b_3$. По определению геометрической прогрессии, они связаны соотношениями $b_2 = b_1q$ и $b_3 = b_1q^2$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Из условия задачи нам даны два равенства:

1. Сумма первого и третьего членов равна 52: $b_1 + b_3 = 52$.

2. Квадрат второго члена равен 100: $b_2^2 = 100$.

Для любой геометрической прогрессии квадрат любого члена, начиная со второго, равен произведению его соседних членов. Для наших чисел это свойство записывается как $b_2^2 = b_1 b_3$.

Используя второе условие, получаем: $b_1 b_3 = 100$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $b_1$ и $b_3$:

$ \begin{cases} b_1 + b_3 = 52 \\ b_1 b_3 = 100 \end{cases} $

Согласно теореме Виета, числа $b_1$ и $b_3$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (b_1 + b_3)x + b_1 b_3 = 0$. Подставив значения из системы, получим:

$x^2 - 52x + 100 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-52)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 2704 - 400 = 2304$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{2304} = 48$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{52 - 48}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{52 + 48}{2} = \frac{100}{2} = 50$

Таким образом, первый и третий члены прогрессии — это числа 2 и 50. Возможны два случая:

1. $b_1 = 2$ и $b_3 = 50$.

2. $b_1 = 50$ и $b_3 = 2$.

Из условия $b_2^2 = 100$ следует, что второй член прогрессии может быть равен $10$ или $-10$.

Рассмотрим все возможные комбинации:

Случай 1: $b_1 = 2$, $b_3 = 50$.

- Если $b_2 = 10$, то получаем последовательность 2, 10, 50. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{10}{2} = 5$.

- Если $b_2 = -10$, то получаем последовательность 2, -10, 50. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{-10}{2} = -5$.

Случай 2: $b_1 = 50$, $b_3 = 2$.

- Если $b_2 = 10$, то получаем последовательность 50, 10, 2. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$.

- Если $b_2 = -10$, то получаем последовательность 50, -10, 2. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{-10}{50} = -\frac{1}{5}$.

Все четыре найденные тройки чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: искомые числа могут быть (2, 10, 50), или (2, -10, 50), или (50, 10, 2), или (50, -10, 2).

3.68. Напишите первые несколько членов геометрической прогрессии, у которой разность третьего и первого членов равна 9, а разность пятого и третьего членов равна 36.

Обозначим первый член искомой геометрической прогрессии как $b_1$, а её знаменатель — как $q$. Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Исходя из условий задачи, мы можем составить два уравнения:

1. Разность третьего и первого членов равна 9: $b_3 - b_1 = 9$.

2. Разность пятого и третьего членов равна 36: $b_5 - b_3 = 36$.

Теперь выразим $b_3$ и $b_5$ через $b_1$ и $q$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 q^2$

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 q^4$

Подставим эти выражения в наши уравнения и получим систему:

$ \begin{cases} b_1 q^2 - b_1 = 9 \\ b_1 q^4 - b_1 q^2 = 36 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении для упрощения:

$ \begin{cases} b_1 (q^2 - 1) = 9 \quad (1) \\ b_1 q^2 (q^2 - 1) = 36 \quad (2) \end{cases} $

Мы видим, что левая часть уравнения (1), то есть выражение $b_1 (q^2 - 1)$, является частью левой части уравнения (2). Мы можем подставить значение 9 из уравнения (1) в уравнение (2):

$q^2 \cdot (b_1 (q^2 - 1)) = 36$

$q^2 \cdot 9 = 36$

Теперь решим это уравнение относительно $q^2$:

$q^2 = \frac{36}{9} = 4$

Отсюда следует, что знаменатель прогрессии $q$ может принимать два значения:

$q = \sqrt{4} = 2$ или $q = -\sqrt{4} = -2$.

Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: $q = 2$

Подставим значение $q^2 = 4$ в первое уравнение системы, $b_1(q^2 - 1) = 9$:

$b_1(4 - 1) = 9$

$3b_1 = 9$

$b_1 = \frac{9}{3} = 3$

Итак, мы нашли первый член $b_1 = 3$ и знаменатель $q = 2$. Первые несколько членов этой прогрессии:

$b_1 = 3$

$b_2 = 3 \cdot 2 = 6$

$b_3 = 6 \cdot 2 = 12$

$b_4 = 12 \cdot 2 = 24$

...и так далее. Последовательность: 3, 6, 12, 24, ...

Случай 2: $q = -2$

Подставим значение $q^2 = 4$ в то же первое уравнение, $b_1(q^2 - 1) = 9$:

$b_1(4 - 1) = 9$

$3b_1 = 9$

$b_1 = \frac{9}{3} = 3$

В этом случае первый член $b_1 = 3$, а знаменатель $q = -2$. Первые несколько членов этой прогрессии:

$b_1 = 3$

$b_2 = 3 \cdot (-2) = -6$

$b_3 = -6 \cdot (-2) = 12$

$b_4 = 12 \cdot (-2) = -24$

...и так далее. Последовательность: 3, -6, 12, -24, ...

Таким образом, существуют две геометрические прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: 3, 6, 12, 24, ... или 3, -6, 12, -24, ...

3.69. Найдите знаменатель геометрической прогрессии ${a_n}$, если $a_1+a_4=27$ и $a_2a_3=72$.

Пусть $a_1$ — первый член геометрической прогрессии $\{a_n\}$, а $q$ — её знаменатель. Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии: $a_n = a_1 q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, имеем два уравнения:
1) $a_1 + a_4 = 27$
2) $a_2 a_3 = 72$

Воспользуемся свойством геометрической прогрессии, согласно которому произведение членов, равноудаленных от концов, постоянно. В более общем виде: если $k+l = m+p$, то $a_k a_l = a_m a_p$. В нашем случае, для индексов 2 и 3 сумма равна $2+3=5$. Для индексов 1 и 4 сумма также равна $1+4=5$. Следовательно, $a_2 a_3 = a_1 a_4$.

Таким образом, мы можем переписать исходную систему уравнений в следующем виде:
1) $a_1 + a_4 = 27$
2) $a_1 a_4 = 72$

Согласно теореме Виета, $a_1$ и $a_4$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a_1+a_4)t + a_1a_4 = 0$. Подставим известные значения:
$t^2 - 27t + 72 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 729 - 288 = 441$
$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 - 21}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Это означает, что возможны два случая:
1) $a_1 = 3$ и $a_4 = 24$
2) $a_1 = 24$ и $a_4 = 3$

Рассмотрим каждый случай, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, используя формулу $a_4 = a_1 q^3$.

Случай 1: $a_1 = 3$ и $a_4 = 24$.
$24 = 3 \cdot q^3$
$q^3 = \frac{24}{3} = 8$
$q = \sqrt[3]{8} = 2$

Случай 2: $a_1 = 24$ и $a_4 = 3$.
$3 = 24 \cdot q^3$
$q^3 = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Оба значения являются решением задачи.

Ответ: $2$ или $\frac{1}{2}$.

3.70. Напишите первые несколько членов геометрической прогрессии $\{a_n\}$, если $a_1 + a_4 = 35$ и $a_2 + a_3 = 30$.

Пусть $a_1$ — первый член геометрической прогрессии $\{a_n\}$, а $q$ — её знаменатель. Общий член прогрессии задается формулой $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

Из условия задачи составим систему уравнений:

$ \begin{cases} a_1 + a_4 = 35 \\ a_2 + a_3 = 30 \end{cases} $

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $q$ и подставим в систему:

$ \begin{cases} a_1 + a_1 q^3 = 35 \\ a_1 q + a_1 q^2 = 30 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$ \begin{cases} a_1 (1 + q^3) = 35 \\ a_1 q (1 + q) = 30 \end{cases} $

Поскольку правая часть второго уравнения не равна нулю ($30 \neq 0$), то $a_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq -1$. Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{a_1(1+q^3)}{a_1q(1+q)} = \frac{35}{30}$

Сократим $a_1$ и используем формулу суммы кубов $1+q^3 = (1+q)(1-q+q^2)$:

$\frac{(1+q)(1-q+q^2)}{q(1+q)} = \frac{7}{6}$

Сократив множитель $(1+q)$, получим:

$\frac{1-q+q^2}{q} = \frac{7}{6}$

Решим это уравнение относительно $q$:

$6(1-q+q^2) = 7q$

$6 - 6q + 6q^2 = 7q$

$6q^2 - 13q + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$.

Корни уравнения:

$q_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13+5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

$q_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13-5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Таким образом, существуют два возможных решения.

Случай 1

Пусть $q = \frac{3}{2}$. Найдем $a_1$ из уравнения $a_1 q (1 + q) = 30$:

$a_1 \cdot \frac{3}{2} (1 + \frac{3}{2}) = 30$

$a_1 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} = 30$

$a_1 \cdot \frac{15}{4} = 30$

$a_1 = \frac{30 \cdot 4}{15} = 8$.

Первые члены прогрессии: $a_1=8$, $a_2=8 \cdot \frac{3}{2}=12$, $a_3=12 \cdot \frac{3}{2}=18$, $a_4=18 \cdot \frac{3}{2}=27$.

Проверка: $a_1+a_4 = 8+27=35$, $a_2+a_3=12+18=30$.

Ответ: 8, 12, 18, 27, ...

Случай 2

Пусть $q = \frac{2}{3}$. Найдем $a_1$ из уравнения $a_1 q (1 + q) = 30$:

$a_1 \cdot \frac{2}{3} (1 + \frac{2}{3}) = 30$

$a_1 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3} = 30$

$a_1 \cdot \frac{10}{9} = 30$

$a_1 = \frac{30 \cdot 9}{10} = 27$.

Первые члены прогрессии: $a_1=27$, $a_2=27 \cdot \frac{2}{3}=18$, $a_3=18 \cdot \frac{2}{3}=12$, $a_4=12 \cdot \frac{2}{3}=8$.

Проверка: $a_1+a_4 = 27+8=35$, $a_2+a_3=18+12=30$.

Ответ: 27, 18, 12, 8, ...