Страница 77 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.34. Найдите:

1) $a_{11}$, если $a_1=-3$, $d=0.7$;

2) $a_{20}$, если $a_1=18$, $d=-0.5$;

3) $a_5$, если $a_1=20$, $d=3$;

4) $b_{21}$, если $b_1=5.8$, $d=-1.5$.

Для решения всех пунктов задачи используется формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

1) Найдем $a_{11}$, если $a_1 = -3$ и $d = 0,7$.
Подставляем данные в формулу:
$a_{11} = a_1 + (11-1)d = -3 + (10) \cdot 0,7$
$a_{11} = -3 + 7 = 4$
Ответ: 4.

2) Найдем $a_{20}$, если $a_1 = 18$ и $d = -0,5$.
Подставляем данные в формулу:
$a_{20} = a_1 + (20-1)d = 18 + (19) \cdot (-0,5)$
$a_{20} = 18 - 9,5 = 8,5$
Ответ: 8,5.

3) Найдем $a_5$, если $a_1 = 20$ и $d = 3$.
Подставляем данные в формулу:
$a_5 = a_1 + (5-1)d = 20 + (4) \cdot 3$
$a_5 = 20 + 12 = 32$
Ответ: 32.

4) Найдем $b_{21}$, если $b_1 = 5,8$ и $d = -1,5$. В данном случае используется обозначение $b_n$, но формула остается той же.
Подставляем данные в формулу:
$b_{21} = b_1 + (21-1)d = 5,8 + (20) \cdot (-1,5)$
$b_{21} = 5,8 - 30 = -24,2$
Ответ: -24,2.

3.35. Найдите 5-й и n-й члены арифметической прогрессии:

1) $\frac{1}{3}$, -1, ...;

2) 2,3; 1; ...;

3) -8, -6,5, ...;

4) 11, 7, ... .

Для решения задачи используется формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — разность прогрессии.

1) В данной арифметической прогрессии первый член $a_1 = \frac{1}{3}$ и второй член $a_2 = -1$.Найдем разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = -1 - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3}$.
Найдем 5-й член прогрессии ($n=5$):
$a_5 = a_1 + (5-1)d = \frac{1}{3} + 4 \cdot (-\frac{4}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{15}{3} = -5$.
Найдем n-й член прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d = \frac{1}{3} + (n-1)(-\frac{4}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{4}{3}n + \frac{4}{3} = \frac{5-4n}{3}$.
Ответ: $a_5 = -5$, $a_n = \frac{5-4n}{3}$.

2) В данной арифметической прогрессии первый член $a_1 = 2.3$ и второй член $a_2 = 1$.Найдем разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 1 - 2.3 = -1.3$.
Найдем 5-й член прогрессии ($n=5$):
$a_5 = a_1 + (5-1)d = 2.3 + 4 \cdot (-1.3) = 2.3 - 5.2 = -2.9$.
Найдем n-й член прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d = 2.3 + (n-1)(-1.3) = 2.3 - 1.3n + 1.3 = 3.6 - 1.3n$.
Ответ: $a_5 = -2.9$, $a_n = 3.6 - 1.3n$.

3) В данной арифметической прогрессии первый член $a_1 = -8$ и второй член $a_2 = -6.5$.Найдем разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = -6.5 - (-8) = -6.5 + 8 = 1.5$.
Найдем 5-й член прогрессии ($n=5$):
$a_5 = a_1 + (5-1)d = -8 + 4 \cdot 1.5 = -8 + 6 = -2$.
Найдем n-й член прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d = -8 + (n-1) \cdot 1.5 = -8 + 1.5n - 1.5 = 1.5n - 9.5$.
Ответ: $a_5 = -2$, $a_n = 1.5n - 9.5$.

4) В данной арифметической прогрессии первый член $a_1 = 11$ и второй член $a_2 = 7$.Найдем разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 7 - 11 = -4$.
Найдем 5-й член прогрессии ($n=5$):
$a_5 = a_1 + (5-1)d = 11 + 4 \cdot (-4) = 11 - 16 = -5$.
Найдем n-й член прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d = 11 + (n-1)(-4) = 11 - 4n + 4 = 15 - 4n$.
Ответ: $a_5 = -5$, $a_n = 15 - 4n$.

3.36. В арифметической прогрессии $ \{a_n\} $ найдите $a_n$, если :

1) $a_1=2, d=0,1, n=5;$

2) $a_1=2,3, d=-1, n=10;$

3) $a_1=-3, d=0,8, n=16;$

4) $a_1=-1\frac{5}{6}, d=\frac{1}{3}, n=61.$

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии $\{a_n\}$ используется формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — номер искомого члена.

1) Дано: $a_1=2$, $d=0,1$, $n=5$.

Чтобы найти $a_5$, подставим данные значения в формулу:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = 2 + 4 \cdot 0,1 = 2 + 0,4 = 2,4$.

Ответ: 2,4.

2) Дано: $a_1=2,3$, $d=-1$, $n=10$.

Чтобы найти $a_{10}$, подставим данные значения в формулу:

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = 2,3 + 9 \cdot (-1) = 2,3 - 9 = -6,7$.

Ответ: -6,7.

3) Дано: $a_1=-3$, $d=0,8$, $n=16$.

Чтобы найти $a_{16}$, подставим данные значения в формулу:

$a_{16} = a_1 + (16-1)d = -3 + 15 \cdot 0,8 = -3 + 12 = 9$.

Ответ: 9.

4) Дано: $a_1=-1\frac{5}{6}$, $d=\frac{1}{3}$, $n=61$.

Сначала преобразуем первый член прогрессии $a_1$ в неправильную дробь:

$a_1 = -1\frac{5}{6} = -\frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = -\frac{11}{6}$.

Теперь найдем $a_{61}$, подставив значения в формулу:

$a_{61} = a_1 + (61-1)d = -\frac{11}{6} + 60 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{11}{6} + \frac{60}{3} = -\frac{11}{6} + 20$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю 6:

$a_{61} = -\frac{11}{6} + \frac{20 \cdot 6}{6} = -\frac{11}{6} + \frac{120}{6} = \frac{120-11}{6} = \frac{109}{6}$.

Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{109}{6} = 18\frac{1}{6}$.

Ответ: $18\frac{1}{6}$.

3.37. Найдите разность $d$, если:

1) $a_1=2, a_{10}=92;$

2) $a_1=-7, a_{16}=2;$

3) $a_1=0, a_{66}=-92.$

1) Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ используется формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Выразим из этой формулы разность $d$: $d = \frac{a_n - a_1}{n-1}$.

В данном случае, $a_1 = 2$, $a_{10} = 92$ и $n=10$.

Подставим значения в формулу:

$d = \frac{a_{10} - a_1}{10-1} = \frac{92 - 2}{9} = \frac{90}{9} = 10$.

Ответ: $d=10$.

2) Используем ту же формулу для нахождения разности $d$: $d = \frac{a_n - a_1}{n-1}$.

В данном случае, $a_1 = -7$, $a_{16} = 2$ и $n=16$.

Подставим значения в формулу:

$d = \frac{a_{16} - a_1}{16-1} = \frac{2 - (-7)}{15} = \frac{2 + 7}{15} = \frac{9}{15}$.

Сократим полученную дробь на 3:

$d = \frac{3}{5}$.

Ответ: $d=\frac{3}{5}$.

3) Снова воспользуемся формулой $d = \frac{a_n - a_1}{n-1}$.

В данном случае, $a_1 = 0$, $a_{66} = -92$ и $n=66$.

Подставим значения в формулу:

$d = \frac{a_{66} - a_1}{66-1} = \frac{-92 - 0}{65} = -\frac{92}{65}$.

Данная дробь является несократимой.

Ответ: $d=-\frac{92}{65}$.

3.38. Сколько двузначных чисел делятся без остатка на:

1) 6;

2) 13?

1) Чтобы найти, сколько двузначных чисел делятся на 6, определим диапазон двузначных чисел. Это числа от 10 до 99. Такие числа образуют арифметическую прогрессию. Нам нужно найти количество членов этой прогрессии.
Первый способ — найти первое и последнее двузначное число, кратное 6.
Первое двузначное число, делящееся на 6, — это 12 ($6 \cdot 2 = 12$).
Чтобы найти последнее, разделим 99 на 6: $99 \div 6 = 16$ с остатком 3. Значит, последнее двузначное число, кратное 6, это $6 \cdot 16 = 96$.
Теперь у нас есть арифметическая прогрессия, где первый член $a_1 = 12$, последний член $a_n = 96$ и разность $d = 6$. Найдем количество членов $n$ по формуле $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$:
$n = \frac{96 - 12}{6} + 1 = \frac{84}{6} + 1 = 14 + 1 = 15$.
Второй способ — использовать целочисленное деление. Найдем количество чисел, кратных 6, от 1 до 99, и вычтем из него количество чисел, кратных 6, от 1 до 9 (так как двузначные числа начинаются с 10).
Количество чисел от 1 до 99, кратных 6: $\lfloor \frac{99}{6} \rfloor = 16$.
Количество чисел от 1 до 9, кратных 6: $\lfloor \frac{9}{6} \rfloor = 1$.
Искомое количество двузначных чисел: $16 - 1 = 15$.
Ответ: 15.

2) Аналогично найдем количество двузначных чисел, которые делятся на 13.
Первый способ:
Первое двузначное число, делящееся на 13, — это 13 ($13 \cdot 1 = 13$).
Последнее двузначное число, делящееся на 13: $99 \div 13 = 7$ с остатком 8. Значит, это $13 \cdot 7 = 91$.
Имеем арифметическую прогрессию с $a_1 = 13$, $a_n = 91$ и $d = 13$. Найдем количество членов $n$:
$n = \frac{91 - 13}{13} + 1 = \frac{78}{13} + 1 = 6 + 1 = 7$.
Второй способ:
Количество чисел от 1 до 99, кратных 13: $\lfloor \frac{99}{13} \rfloor = 7$.
Количество чисел от 1 до 9, кратных 13: $\lfloor \frac{9}{13} \rfloor = 0$.
Искомое количество двузначных чисел: $7 - 0 = 7$.
Ответ: 7.

3.39. Разместите между числами:
1) 5 и 1;
2) 2,5 и 4 четыре числа так, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию.

1) Чтобы разместить четыре числа между числами 5 и 1 так, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию, нам нужно найти 4 промежуточных члена этой прогрессии.
Пусть данная арифметическая прогрессия обозначается как $(a_n)$.
Первый член прогрессии $a_1 = 5$.
Поскольку мы вставляем 4 числа, общее количество членов в прогрессии будет равно $2 + 4 = 6$.
Следовательно, шестой член прогрессии $a_6 = 1$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии.
Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти разность $d$. Для $n=6$:
$a_6 = a_1 + (6-1)d$
$1 = 5 + 5d$
Решим это уравнение относительно $d$:
$5d = 1 - 5$
$5d = -4$
$d = -4/5 = -0.8$
Теперь, зная разность, найдем четыре искомых числа, которые являются членами прогрессии со второго по пятый:
$a_2 = a_1 + d = 5 + (-0.8) = 4.2$
$a_3 = a_2 + d = 4.2 + (-0.8) = 3.4$
$a_4 = a_3 + d = 3.4 + (-0.8) = 2.6$
$a_5 = a_4 + d = 2.6 + (-0.8) = 1.8$
Проверим, что $a_6$ получается верным: $a_6 = a_5 + d = 1.8 + (-0.8) = 1$.
Таким образом, полная прогрессия выглядит так: 5; 4,2; 3,4; 2,6; 1,8; 1.
Ответ: 4,2; 3,4; 2,6; 1,8.

2) Аналогично, разместим четыре числа между 2,5 и 4.
Пусть данная арифметическая прогрессия обозначается как $(b_n)$.
Первый член прогрессии $b_1 = 2.5$.
Общее количество членов в прогрессии снова $n = 6$.
Шестой член прогрессии $b_6 = 4$.
Используем формулу n-го члена $b_n = b_1 + (n-1)d$ для нахождения разности $d$:
$b_6 = b_1 + (6-1)d$
$4 = 2.5 + 5d$
Решим уравнение относительно $d$:
$5d = 4 - 2.5$
$5d = 1.5$
$d = 1.5 / 5 = 0.3$
Теперь найдем четыре искомых члена прогрессии:
$b_2 = b_1 + d = 2.5 + 0.3 = 2.8$
$b_3 = b_2 + d = 2.8 + 0.3 = 3.1$
$b_4 = b_3 + d = 3.1 + 0.3 = 3.4$
$b_5 = b_4 + d = 3.4 + 0.3 = 3.7$
Проверим, что $b_6$ получается верным: $b_6 = b_5 + d = 3.7 + 0.3 = 4$.
Таким образом, полная прогрессия выглядит так: 2,5; 2,8; 3,1; 3,4; 3,7; 4.
Ответ: 2,8; 3,1; 3,4; 3,7.

3.40. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии ${c_n}$, если:

1) $c_5=27, c_{27}=60$

2) $c_{20}=0, c_{66}=-92$

Для нахождения первого члена $c_1$ и разности $d$ арифметической прогрессии $\{c_n\}$ воспользуемся формулой n-го члена: $c_n = c_1 + (n-1)d$. Для каждого пункта мы составим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными ($c_1$ и $d$) и решим ее.

1) Дано: $c_5 = 27$ и $c_{27} = 60$.
Используя формулу n-го члена, запишем два уравнения:
Для $n=5$: $c_5 = c_1 + (5-1)d \implies c_1 + 4d = 27$.
Для $n=27$: $c_{27} = c_1 + (27-1)d \implies c_1 + 26d = 60$.
Получили систему уравнений:
$ \begin{cases} c_1 + 4d = 27 & (1) \\ c_1 + 26d = 60 & (2) \end{cases} $
Вычтем уравнение (1) из уравнения (2), чтобы найти разность $d$:
$(c_1 + 26d) - (c_1 + 4d) = 60 - 27$
$22d = 33$
$d = \frac{33}{22} = \frac{3}{2} = 1.5$
Теперь подставим найденное значение $d=1.5$ в уравнение (1), чтобы найти первый член $c_1$:
$c_1 + 4 \cdot 1.5 = 27$
$c_1 + 6 = 27$
$c_1 = 27 - 6$
$c_1 = 21$
Ответ: $c_1 = 21$, $d = 1.5$.

2) Дано: $c_{20} = 0$ и $c_{66} = -92$.
Аналогично первому пункту, составим систему уравнений:
Для $n=20$: $c_{20} = c_1 + (20-1)d \implies c_1 + 19d = 0$.
Для $n=66$: $c_{66} = c_1 + (66-1)d \implies c_1 + 65d = -92$.
Получили систему уравнений:
$ \begin{cases} c_1 + 19d = 0 & (1) \\ c_1 + 65d = -92 & (2) \end{cases} $
Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
$(c_1 + 65d) - (c_1 + 19d) = -92 - 0$
$46d = -92$
$d = \frac{-92}{46} = -2$
Теперь найдем первый член $c_1$. Из уравнения (1) выразим $c_1$:
$c_1 = -19d$
Подставим найденное значение $d=-2$:
$c_1 = -19 \cdot (-2)$
$c_1 = 38$
Ответ: $c_1 = 38$, $d = -2$.

3.41. Является ли число:

1) 0;

2) -28

членом арифметической прогрессии ${\{a_n\}}$, если $a_1=32$, $d=-1,5$?

Чтобы определить, является ли некоторое число членом арифметической прогрессии, нужно использовать формулу n-го члена прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Если при подстановке заданного числа в качестве $a_n$ и известных $a_1$ и $d$ мы получим для $n$ натуральное число, то это число является членом прогрессии. В нашей задаче дано $a_1=32$ и $d=-1,5$.

1) Проверим число 0.

Предположим, что $a_n = 0$ для некоторого натурального $n$. Подставим значения в формулу:

$0 = 32 + (n-1)(-1,5)$

Решим это уравнение относительно $n$:

$1,5(n-1) = 32$

$n-1 = \frac{32}{1,5}$

$n-1 = \frac{32}{3/2} = 32 \cdot \frac{2}{3} = \frac{64}{3}$

$n = \frac{64}{3} + 1 = \frac{64}{3} + \frac{3}{3} = \frac{67}{3}$

Поскольку $n = \frac{67}{3} = 22\frac{1}{3}$ не является натуральным числом, число 0 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: нет.

2) Проверим число -28.

Предположим, что $a_n = -28$ для некоторого натурального $n$. Подставим значения в формулу:

$-28 = 32 + (n-1)(-1,5)$

Решим это уравнение относительно $n$:

$-28 - 32 = (n-1)(-1,5)$

$-60 = -1,5(n-1)$

$n-1 = \frac{-60}{-1,5}$

$n-1 = 40$

$n = 40 + 1$

$n = 41$

Поскольку $n = 41$ является натуральным числом, число -28 является 41-м членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: да.