Страница 81 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какую числовую последовательность называют геометрической прогрессией?

2. Что такое знаменатель геометрической прогрессии?

3. Напишите формулу $n$-го члена геометрической прогрессии.

1. Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность $(b_n)$, все члены которой отличны от нуля и для которой существует такое число $q \neq 0$, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Число $q$ называют знаменателем геометрической прогрессии. Например, последовательность 2, 6, 18, 54, ... является геометрической прогрессией с первым членом $b_1=2$ и знаменателем $q=3$.
Ответ: Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

2. Знаменатель геометрической прогрессии — это постоянное для данной последовательности число $q$, которое показывает, во сколько раз любой её член (начиная со второго) отличается от предыдущего. Знаменатель прогрессии не может быть равен нулю. Для его нахождения необходимо разделить последующий член прогрессии на предыдущий.
Формула для нахождения знаменателя: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.
Ответ: Знаменатель геометрической прогрессии — это число $q$, равное отношению любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену.

3. Формула n-го члена геометрической прогрессии выражает любой член прогрессии $b_n$ через её первый член $b_1$, знаменатель $q$ и порядковый номер члена $n$. Эта формула позволяет напрямую вычислить значение любого члена последовательности, не вычисляя все предыдущие. Она выводится из рекуррентного определения прогрессии: $b_2 = b_1 \cdot q$, $b_3 = b_2 \cdot q = (b_1 \cdot q) \cdot q = b_1 \cdot q^2$, и так далее.
Ответ: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Практическая работа

Претендент по контракту устроился на работу в некую фирму. По условию контракта претендент за первый квартал (3 месяца) будет получать зарплату в размере 1000000 тг.

В следующих кварталах, если будет справляться со своими обязанностями, то будет получать зарплату предыдущего квартала, умноженную на число 1,3, а в противном случае он будет получать зарплату, умноженную на число 0,75.

Работник в I квартале плохо справлялся со своими обязанностями, а в следующих кварталах он работал очень хорошо. Чему равна месячная зарплата работника в 4-м квартале? Какой была бы эта сумма, если работник все время работал очень хорошо (плохо)?

Чему равна месячная зарплата работника в 4-м квартале?

Обозначим зарплату за n-й квартал как $S_n$. Исходная зарплата за первый квартал составляет $S_1 = 1000000$ тг.

1. В I квартале работник плохо справлялся с обязанностями, поэтому зарплата на II квартал умножается на коэффициент 0,75:

$S_2 = S_1 \times 0,75 = 1000000 \times 0,75 = 750000$ тг.

2. Во II квартале работник работал очень хорошо, поэтому зарплата на III квартал умножается на коэффициент 1,3:

$S_3 = S_2 \times 1,3 = 750000 \times 1,3 = 975000$ тг.

3. В III квартале работник снова работал очень хорошо, поэтому зарплата на IV квартал также умножается на 1,3:

$S_4 = S_3 \times 1,3 = 975000 \times 1,3 = 1267500$ тг.

4. Это зарплата за весь IV квартал (3 месяца). Чтобы найти месячную зарплату, разделим эту сумму на 3:

Месячная зарплата = $S_4 / 3 = 1267500 / 3 = 422500$ тг.

Ответ: 422500 тг.

Какой была бы эта сумма, если работник все время работал очень хорошо?

Если бы работник каждый квартал работал очень хорошо, его зарплата каждый следующий квартал умножалась бы на 1,3.

1. Зарплата за II квартал: $S_2 = S_1 \times 1,3 = 1000000 \times 1,3 = 1300000$ тг.

2. Зарплата за III квартал: $S_3 = S_2 \times 1,3 = 1300000 \times 1,3 = 1690000$ тг.

3. Зарплата за IV квартал: $S_4 = S_3 \times 1,3 = 1690000 \times 1,3 = 2197000$ тг.

Или общим расчетом: $S_4 = S_1 \times (1,3)^3 = 1000000 \times 2,197 = 2197000$ тг.

4. Месячная зарплата в IV квартале составила бы:

Месячная зарплата = $S_4 / 3 = 2197000 / 3 \approx 732333,33$ тг.

Ответ: 732333,33 тг.

Какой была бы эта сумма, если работник все время работал плохо?

Если бы работник каждый квартал работал плохо, его зарплата каждый следующий квартал умножалась бы на 0,75.

1. Зарплата за II квартал: $S_2 = S_1 \times 0,75 = 1000000 \times 0,75 = 750000$ тг.

2. Зарплата за III квартал: $S_3 = S_2 \times 0,75 = 750000 \times 0,75 = 562500$ тг.

3. Зарплата за IV квартал: $S_4 = S_3 \times 0,75 = 562500 \times 0,75 = 421875$ тг.

Или общим расчетом: $S_4 = S_1 \times (0,75)^3 = 1000000 \times 0,421875 = 421875$ тг.

4. Месячная зарплата в IV квартале составила бы:

Месячная зарплата = $S_4 / 3 = 421875 / 3 = 140625$ тг.

Ответ: 140625 тг.