Страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.83. Найдите сумму всех натуральных чисел:

1) не превышающих 100;

2) от 16-ти до 160.

1)Требуется найти сумму всех натуральных чисел, не превышающих 100, то есть сумму чисел от 1 до 100 включительно. Эти числа образуют арифметическую прогрессию, у которой:
- первый член $a_1 = 1$;
- последний член $a_n = 100$;
- количество членов $n = 100$.
Сумму $n$ первых членов арифметической прогрессии можно найти по формуле:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим наши значения в формулу:
$S_{100} = \frac{1 + 100}{2} \cdot 100 = \frac{101}{2} \cdot 100 = 101 \cdot 50 = 5050$
Ответ: 5050

2)Требуется найти сумму всех натуральных чисел от 16-ти до 160. Эти числа также образуют арифметическую прогрессию.
- первый член прогрессии $a_1 = 16$;
- последний член прогрессии $a_n = 160$.
Найдем количество членов в этой прогрессии. Оно равно:
$n = 160 - 16 + 1 = 145$
Воспользуемся той же формулой для суммы арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим значения для данного случая:
$S_{145} = \frac{16 + 160}{2} \cdot 145 = \frac{176}{2} \cdot 145 = 88 \cdot 145 = 12760$
Ответ: 12760

3.84. Найдите сумму:

1) $2+4+6+...+2n$

2) $1+3+5+...+ (2n-1)$

1) Для нахождения суммы $2+4+6+...+2n$ можно заметить, что все слагаемые являются четными числами. Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$S_1 = 2+4+6+...+2n = 2(1+2+3+...+n)$.
В скобках находится сумма первых $n$ натуральных чисел. Эта сумма является суммой арифметической прогрессии, где первый член $a_1=1$, последний член $a_n=n$, и количество членов равно $n$. Формула для суммы первых $n$ натуральных чисел:
$1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$.
Подставим это выражение обратно в нашу формулу для $S_1$:
$S_1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.
Ответ: $n(n+1)$.

2) Для нахождения суммы $1+3+5+...+(2n-1)$ мы имеем дело с последовательностью нечетных чисел. Эта последовательность представляет собой арифметическую прогрессию.
Определим ее параметры:
Первый член прогрессии $a_1 = 1$.
Разность прогрессии $d = 3-1=2$.
Общий вид члена прогрессии $a_k = a_1 + (k-1)d = 1 + (k-1)2 = 1+2k-2 = 2k-1$.
Последний член в нашей сумме имеет вид $2n-1$. Чтобы найти количество членов в сумме, приравняем общий вид члена к последнему члену:
$a_k = 2k-1 = 2n-1$.
Отсюда следует, что $k=n$. Таким образом, в сумме ровно $n$ слагаемых.
Теперь воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}$.
Подставим наши значения: первый член $a_1=1$ и $n$-й член $a_n=2n-1$.
$S_n = \frac{(1 + (2n-1))n}{2} = \frac{(2n)n}{2} = \frac{2n^2}{2} = n^2$.
Ответ: $n^2$.

3.85. Найдите сумму членов от 20-го по 25-й арифметической прогрессии ${a_n}$, если $a_1=2$, $d=2$.

Для того чтобы найти сумму членов арифметической прогрессии $\{a_n\}$ с 20-го по 25-й, мы можем использовать два подхода. В обоих случаях нам даны первый член прогрессии $a_1 = 2$ и ее разность $d = 2$.

Способ 1: Нахождение суммы как разности сумм.

Искомая сумма $S$ может быть вычислена как разность между суммой первых 25 членов ($S_{25}$) и суммой первых 19 членов ($S_{19}$). То есть, $S = S_{25} - S_{19}$.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

1. Вычислим $S_{25}$:
$S_{25} = \frac{2 \cdot 2 + 2(25-1)}{2} \cdot 25 = \frac{4 + 2 \cdot 24}{2} \cdot 25 = \frac{4 + 48}{2} \cdot 25 = \frac{52}{2} \cdot 25 = 26 \cdot 25 = 650$.

2. Вычислим $S_{19}$:
$S_{19} = \frac{2 \cdot 2 + 2(19-1)}{2} \cdot 19 = \frac{4 + 2 \cdot 18}{2} \cdot 19 = \frac{4 + 36}{2} \cdot 19 = \frac{40}{2} \cdot 19 = 20 \cdot 19 = 380$.

3. Найдем искомую сумму:
$S = S_{25} - S_{19} = 650 - 380 = 270$.

Способ 2: Рассмотрение членов с 20-го по 25-й как отдельной прогрессии.

Последовательность членов с 20-го по 25-й ($a_{20}, a_{21}, \dots, a_{25}$) сама является арифметической прогрессией. Количество членов в ней $n = 25 - 20 + 1 = 6$.

1. Найдем первый член этой новой последовательности, $a_{20}$, используя формулу $n$-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_{20} = a_1 + (20-1)d = 2 + 19 \cdot 2 = 2 + 38 = 40$.

2. Найдем последний член этой последовательности, $a_{25}$:
$a_{25} = a_1 + (25-1)d = 2 + 24 \cdot 2 = 2 + 48 = 50$.

3. Найдем сумму этой новой прогрессии по формуле $S = \frac{n}{2}(a_{первый} + a_{последний})$:
$S = \frac{6}{2}(a_{20} + a_{25}) = 3 \cdot (40 + 50) = 3 \cdot 90 = 270$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 270

3.86. Найдите сумму всех натуральных чисел:

1) кратных 3 и не превышающих 200;

2) кратных 9 и не превышающих 250.

1) Натуральные числа, кратные 3, представляют собой арифметическую прогрессию. Найдем ее параметры.

Первый член прогрессии $a_1$ — это наименьшее натуральное число, кратное 3, то есть $a_1 = 3$.

Разность прогрессии $d$ также равна 3.

Нам нужно найти сумму всех членов этой прогрессии, которые не превышают 200. Найдем последний член $a_n$, удовлетворяющий этому условию. Для этого разделим 200 на 3:

$200 \div 3 = 66$ (остаток 2).

Значит, наибольшее число, кратное 3 и не превышающее 200, равно $3 \cdot 66 = 198$. Таким образом, $a_n = 198$.

Теперь определим количество членов $n$ в этой прогрессии. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$198 = 3 + (n-1) \cdot 3$

$198 = 3 + 3n - 3$

$198 = 3n$

$n = \frac{198}{3} = 66$.

Для нахождения суммы $S_n$ первых $n$ членов арифметической прогрессии используем формулу $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим найденные значения:

$S_{66} = \frac{3 + 198}{2} \cdot 66 = \frac{201}{2} \cdot 66 = 201 \cdot 33 = 6633$.

Ответ: 6633.

2) Натуральные числа, кратные 9, также образуют арифметическую прогрессию.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 9$.

Разность прогрессии $d = 9$.

Найдем последний член $a_n$ прогрессии, который не превышает 250. Разделим 250 на 9:

$250 \div 9 = 27$ (остаток 7).

Наибольшее число, кратное 9 и не превышающее 250, равно $9 \cdot 27 = 243$. Таким образом, $a_n = 243$.

Теперь определим количество членов $n$ в этой прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$243 = 9 + (n-1) \cdot 9$

$243 = 9 + 9n - 9$

$243 = 9n$

$n = \frac{243}{9} = 27$.

Найдем сумму $S_n$ по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения:

$S_{27} = \frac{9 + 243}{2} \cdot 27 = \frac{252}{2} \cdot 27 = 126 \cdot 27 = 3402$.

Ответ: 3402.

3.87. Сумма первых 8 членов геометрической прогрессии рав- $ \frac{85}{64} $, а знаменатель $ q = -\frac{1}{2} $. Найдите ее первый член.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии ($b_1$) воспользуемся формулой суммы ее первых $n$ членов: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$, где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии.

Из условия задачи нам известны следующие значения:

• Сумма первых 8 членов: $S_8 = \frac{85}{64}$
• Количество членов: $n = 8$
• Знаменатель прогрессии: $q = -\frac{1}{2}$

Подставим эти значения в формулу: $\frac{85}{64} = \frac{b_1(1-(-\frac{1}{2})^8)}{1-(-\frac{1}{2})}$

Вычислим значение выражения в знаменателе правой части: $1 - (-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь вычислим значение выражения в скобках в числителе правой части: $(-\frac{1}{2})^8 = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}$

$1 - \frac{1}{256} = \frac{256}{256} - \frac{1}{256} = \frac{255}{256}$

Теперь наше уравнение принимает вид: $\frac{85}{64} = \frac{b_1 \cdot \frac{255}{256}}{\frac{3}{2}}$

Чтобы найти $b_1$, выразим его из уравнения. Для этого сначала упростим правую часть: $\frac{b_1 \cdot \frac{255}{256}}{\frac{3}{2}} = b_1 \cdot \frac{255}{256} \cdot \frac{2}{3}$

Сократим дробь: $b_1 \cdot \frac{255 \cdot 2}{256 \cdot 3} = b_1 \cdot \frac{85 \cdot 1}{128 \cdot 1} = b_1 \cdot \frac{85}{128}$

Теперь уравнение выглядит так: $\frac{85}{64} = b_1 \cdot \frac{85}{128}$

Отсюда находим $b_1$: $b_1 = \frac{85}{64} \div \frac{85}{128} = \frac{85}{64} \cdot \frac{128}{85}$

Сокращаем $85$ в числителе и знаменателе, а также $64$ и $128$: $b_1 = \frac{128}{64} = 2$

Ответ: 2.

3.88. Найдите $S_5$, если в геометрической прогрессии $S_2=4$ и $S_3=13$.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$ определяется как $S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n$.

Из условия задачи мы знаем, что $S_2 = 4$ и $S_3 = 13$. Сумму $S_3$ можно представить через $S_2$ и третий член прогрессии $b_3$: $S_3 = S_2 + b_3$.

Подставив известные значения, найдем $b_3$: $13 = 4 + b_3$, откуда $b_3 = 13 - 4 = 9$.

Теперь запишем выражения для $S_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$: $S_2 = b_1 + b_2 = b_1 + b_1q = b_1(1+q) = 4$. $b_3 = b_1q^2 = 9$.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} b_1(1+q) = 4 \\ b_1q^2 = 9 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b_1 = \frac{4}{1+q}$ (при $q \neq -1$, что выполняется, так как иначе $S_2=0 \neq 4$). Подставим это выражение во второе уравнение: $\frac{4}{1+q} \cdot q^2 = 9$.

Решим полученное уравнение относительно $q$: $4q^2 = 9(1+q)$ $4q^2 = 9 + 9q$ $4q^2 - 9q - 9 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225 = 15^2$. Найдем корни уравнения: $q = \frac{-(-9) \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm 15}{8}$.

Получаем два возможных значения для знаменателя прогрессии: $q_1 = \frac{9+15}{8} = \frac{24}{8} = 3$. $q_2 = \frac{9-15}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$.

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию. Найдем $S_5$ для каждой из них.

Случай 1: $q = 3$.
Найдем $b_1$: $b_1 = \frac{4}{1+3} = \frac{4}{4} = 1$.
Теперь найдем сумму первых пяти членов $S_5$, используя формулу $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$: $S_5 = \frac{1(3^5-1)}{3-1} = \frac{243-1}{2} = \frac{242}{2} = 121$.

Случай 2: $q = -\frac{3}{4}$.
Найдем $b_1$: $b_1 = \frac{4}{1+(-\frac{3}{4})} = \frac{4}{1/4} = 16$.
Теперь найдем сумму первых пяти членов $S_5$: $S_5 = \frac{16((-\frac{3}{4})^5-1)}{-\frac{3}{4}-1} = \frac{16(-\frac{243}{1024}-1)}{-\frac{7}{4}} = \frac{16(-\frac{1267}{1024})}{-\frac{7}{4}}$.
$S_5 = \frac{16 \cdot 1267}{1024} \cdot \frac{4}{7} = \frac{1267}{64} \cdot \frac{4}{7} = \frac{1267}{16 \cdot 7}$.
Так как $1267 = 181 \cdot 7$, получаем: $S_5 = \frac{181 \cdot 7}{16 \cdot 7} = \frac{181}{16}$.

Ответ: $S_5 = 121$ или $S_5 = \frac{181}{16}$.

3.89. Найдите $S_{16}$, если в геометрической прогрессии $S_4=-28$, $S_6=58$.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Мы предполагаем, что $q \neq 1$.

Согласно условию задачи, имеем систему из двух уравнений:

$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = -28$

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = 58$

Разделим второе уравнение на первое, чтобы исключить $b_1$ (при условии, что $S_4 \neq 0$ и $b_1 \neq 0$):

$\frac{S_6}{S_4} = \frac{\frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1}}{\frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1}} = \frac{q^6 - 1}{q^4 - 1}$

Подставим известные значения $S_4$ и $S_6$:

$\frac{58}{-28} = \frac{q^6 - 1}{q^4 - 1}$

$-\frac{29}{14} = \frac{q^6 - 1}{q^4 - 1}$

Умножим обе части уравнения на $14(q^4 - 1)$ (при условии $q^4 \neq 1$):

$-29(q^4 - 1) = 14(q^6 - 1)$

$-29q^4 + 29 = 14q^6 - 14$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить полиномиальное уравнение:

$14q^6 + 29q^4 - 43 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = q^2$. Поскольку $q$ — действительное число, то $y$ должно быть неотрицательным ($y \ge 0$).

$14y^3 + 29y^2 - 43 = 0$

Попробуем найти целые корни этого кубического уравнения среди делителей свободного члена (-43). Проверим $y=1$:

$14(1)^3 + 29(1)^2 - 43 = 14 + 29 - 43 = 43 - 43 = 0$

Так как $y=1$ является корнем, мы можем разложить многочлен на множители, разделив его на $(y-1)$.

$(y - 1)(14y^2 + 43y + 43) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $y - 1 = 0 \implies y = 1$

2) $14y^2 + 43y + 43 = 0$

Рассмотрим второе уравнение. Найдем его дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 43^2 - 4 \cdot 14 \cdot 43 = 1849 - 2408 = -559$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $14y^2 + 43y + 43 = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, единственным действительным решением для $y$ является $y=1$.

Вернемся к замене $y = q^2$:

$q^2 = 1 \implies q = 1$ или $q = -1$.

Теперь нужно проверить, могут ли эти значения знаменателя $q$ соответствовать условиям задачи.

Случай 1: $q = 1$

Если $q=1$, то все члены прогрессии равны $b_1$. Сумма $S_n = n \cdot b_1$.

Из условия $S_4 = -28$ получаем $4b_1 = -28 \implies b_1 = -7$.

Тогда $S_6$ должна быть равна $6b_1 = 6(-7) = -42$.

Однако по условию $S_6 = 58$. Получаем противоречие ($ -42 \neq 58$). Значит, $q \neq 1$.

Случай 2: $q = -1$

Если $q=-1$, то члены прогрессии чередуются: $b_1, -b_1, b_1, -b_1, \dots$

Сумма четного числа членов такой прогрессии равна нулю. Таким образом, $S_4 = b_1 - b_1 + b_1 - b_1 = 0$.

Однако по условию $S_4 = -28$. Получаем противоречие ($0 \neq -28$). Значит, $q \neq -1$.

Вывод

Мы показали, что единственное возможное действительное значение для $q^2$ равно 1, что соответствует $q=1$ или $q=-1$. Оба эти случая приводят к противоречию с исходными данными. Это означает, что не существует геометрической прогрессии с действительными членами, которая удовлетворяла бы условиям $S_4 = -28$ и $S_6 = 58$. Вероятнее всего, в условии задачи содержится опечатка.

Ответ: Заданная в условии геометрическая прогрессия с действительными членами не существует, поэтому найти $S_{16}$ невозможно.