Номер 3.88, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.88. Найдите $S_5$, если в геометрической прогрессии $S_2=4$ и $S_3=13$.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$ определяется как $S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n$.

Из условия задачи мы знаем, что $S_2 = 4$ и $S_3 = 13$. Сумму $S_3$ можно представить через $S_2$ и третий член прогрессии $b_3$: $S_3 = S_2 + b_3$.

Подставив известные значения, найдем $b_3$: $13 = 4 + b_3$, откуда $b_3 = 13 - 4 = 9$.

Теперь запишем выражения для $S_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$: $S_2 = b_1 + b_2 = b_1 + b_1q = b_1(1+q) = 4$. $b_3 = b_1q^2 = 9$.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} b_1(1+q) = 4 \\ b_1q^2 = 9 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b_1 = \frac{4}{1+q}$ (при $q \neq -1$, что выполняется, так как иначе $S_2=0 \neq 4$). Подставим это выражение во второе уравнение: $\frac{4}{1+q} \cdot q^2 = 9$.

Решим полученное уравнение относительно $q$: $4q^2 = 9(1+q)$ $4q^2 = 9 + 9q$ $4q^2 - 9q - 9 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225 = 15^2$. Найдем корни уравнения: $q = \frac{-(-9) \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm 15}{8}$.

Получаем два возможных значения для знаменателя прогрессии: $q_1 = \frac{9+15}{8} = \frac{24}{8} = 3$. $q_2 = \frac{9-15}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$.

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию. Найдем $S_5$ для каждой из них.

Случай 1: $q = 3$.
Найдем $b_1$: $b_1 = \frac{4}{1+3} = \frac{4}{4} = 1$.
Теперь найдем сумму первых пяти членов $S_5$, используя формулу $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$: $S_5 = \frac{1(3^5-1)}{3-1} = \frac{243-1}{2} = \frac{242}{2} = 121$.

Случай 2: $q = -\frac{3}{4}$.
Найдем $b_1$: $b_1 = \frac{4}{1+(-\frac{3}{4})} = \frac{4}{1/4} = 16$.
Теперь найдем сумму первых пяти членов $S_5$: $S_5 = \frac{16((-\frac{3}{4})^5-1)}{-\frac{3}{4}-1} = \frac{16(-\frac{243}{1024}-1)}{-\frac{7}{4}} = \frac{16(-\frac{1267}{1024})}{-\frac{7}{4}}$.
$S_5 = \frac{16 \cdot 1267}{1024} \cdot \frac{4}{7} = \frac{1267}{64} \cdot \frac{4}{7} = \frac{1267}{16 \cdot 7}$.
Так как $1267 = 181 \cdot 7$, получаем: $S_5 = \frac{181 \cdot 7}{16 \cdot 7} = \frac{181}{16}$.

Ответ: $S_5 = 121$ или $S_5 = \frac{181}{16}$.