Номер 3.81, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.81. Покажите, что последовательность, заданная формулой общего члена, является арифметической прогрессией, и найдите $S_{10}$, если:

1) $a_n = 5n+3$;

2) $a_n = 5 - \frac{n}{2}$.

1) Для последовательности, заданной формулой $a_n=5n+3$, докажем, что она является арифметической прогрессией.
По определению, последовательность является арифметической прогрессией, если разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом постоянна. Эта разность называется разностью прогрессии ($d$).
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = 5(n+1) + 3 = 5n + 5 + 3 = 5n + 8$.
Теперь найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:
$d = a_{n+1} - a_n = (5n + 8) - (5n + 3) = 5n + 8 - 5n - 3 = 5$.
Так как разность $d=5$ является постоянной величиной (не зависит от $n$), данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=5$.
Теперь найдем сумму первых десяти членов прогрессии, $S_{10}$. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Для этого сначала найдем первый и десятый члены прогрессии:
$a_1 = 5 \cdot 1 + 3 = 8$.
$a_{10} = 5 \cdot 10 + 3 = 50 + 3 = 53$.
Теперь вычислим сумму:
$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{8 + 53}{2} \cdot 10 = \frac{61}{2} \cdot 10 = 61 \cdot 5 = 305$.
Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=5$; $S_{10} = 305$.

2) Для последовательности, заданной формулой $a_n = 5 - \frac{n}{2}$, докажем, что она является арифметической прогрессией.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = 5 - \frac{n+1}{2} = 5 - \frac{n}{2} - \frac{1}{2}$.
Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:
$d = a_{n+1} - a_n = (5 - \frac{n}{2} - \frac{1}{2}) - (5 - \frac{n}{2}) = 5 - \frac{n}{2} - \frac{1}{2} - 5 + \frac{n}{2} = -\frac{1}{2}$.
Так как разность $d = -0.5$ является постоянной величиной, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=-0.5$.
Теперь найдем сумму первых десяти членов прогрессии, $S_{10}$, по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Найдем первый и десятый члены прогрессии:
$a_1 = 5 - \frac{1}{2} = 4.5$.
$a_{10} = 5 - \frac{10}{2} = 5 - 5 = 0$.
Теперь вычислим сумму:
$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{4.5 + 0}{2} \cdot 10 = \frac{4.5}{2} \cdot 10 = 4.5 \cdot 5 = 22.5$.
Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=-0.5$; $S_{10} = 22.5$.